Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

258 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Feldes irgend eine ganz in Sf verlaufende Kurve (, so ist der Wert
des Linienintegrals
J =J[F,(x,, p, q) dxl + Fy,(X y,p, q) dy] (150)
genommen entlang der Kurve Z, vom Integrationsweg unabhängig
und nur von der Lage der beiden Endpunkte abhängig, wofern die
Größen p, q dieselbe Bedeutung haben wie in den Formeln (148) und
(148a). Denn aus letzteren folgt, daß
J -f d WT(x, y) == W(X4 y4) - W(x,, y3), (151)
falls das Feldintegral von einer Transversalen aus gerechnet wird, und
J* = W(x4, y4) + w(x4 y,) - W(x3 y8) - w(x3, Y3)
für den Fall einer beliebigen Kurve üo.
Aus (148a) folgt weiter, daß die Fztuktionen p(x, y), q(x, y) der
partiellen Differentialgleichung
a F~x,, yp q2) =- F,(x, y, p, q) (152)
genüige, entsprechend der partiellen Differentialgleichung (19) von ~ 17.
Endlich schließt man') aus (148) und (147a):
Wird das Feldintegral W(x, y) von einer Transversalen ats
gerechnet, so ist
W(x, y) -- konst.
entlang jeder Transversalen der Extremalenschar (130).
Ist nämlich2)
x =- ( (1Z (a), a) _ (a), y = y (X (a), a) -- (a,)
eine beliebige Transversale des Feldes, so daß also, identisch in a,
x'(a),(t, a) + I'(a) i,(t, a) t=(a)= 0,
so folgt aus (148), daß
dc2W(x(a), n(a)) = 0.
1) Vgl. ~ 20, a) und ~ 44, b).
2) Vgl. das oben iiber die Kurve ko gesagte, insbesondere die Gleichung
(147 a).