Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 3. Definition des Maximums und Minimums eines bestimmten Integrals. 13
größten (kleinsten) auszusuchen. Neue Schwierigkeiten treten nur
dann auf, wenn die Funktion unendlich viele Maxima und Minima
besitzt.1)
~ 3. Definition des Maximums und Minimums eines bestimmten
Integrals. )
Ganz analoge Begriffsbildungen treten nun auch bei der Definition
des Maximums und Minimums eines bestimmten Integrals auf.
Wir werden uns dabei (sowie stets in der Folge) der folgenden
abgekürzten Ausdrucksweise bedienen: Indem wir unter einer Funktion
stets eine eindeutige, reelle Funktion einer oder mehrerer reeller Variabeln verstehen, sagen wir, eine Funktion f(x) einer Variabeln x,
welche in einem Intervall [ab] definiert ist, sei in diesem Intervall
von der Klasse C', wenn sie in3) [ab] stetig ist und eine stetige
erste Ableitung f'(x) besitzt; von der Klasse C", wenn außerdem
die zweite Ableitung f"(x) existiert und stetig ist in [ab], und so fort,
wobei man beachte, daß die Klasse C(n+1) in der Klasse C(") enthalten ist.
Ebenso soll die Kurve
____ y = f(x), a x <b
1) Hierzu Übungsaufgabe ld, am Ende von Kap. II1.
2) Bis in das letzte Drittel des vorigen Jahrhunderts hat allgemein große
Unklarheit über die Grundlagen der Variationsrechnung geherrscht. Das größte
Verdienst um die Klärung der Grundbegriffe und um eine scharfe Formulierung
der Aufgaben haben: Du BOIS-REYMOND, "Erläuterungen zu den Anfangsgründen
der Variationsrechnung", Mathematische Annalen, Bd. XV. (1879), p. 283;
SCHEEFFER:,~Über die Bedeutung der Begriffe Maximum und Minimum in der
Variationsrechnung", ibid. Bd. XXVI (1886), p. 197; und vor allem WEIERSTRASS
in seinen an der Berliner Universität gehaltenen Vorlesungen über Variationsrechnung (1865-1890). Wertvolle Beiträge nach dieser Richtung haben auch
geliefert: ZERMELO, Dissertation, p. 24; KNESER, Lehrbuch, ~ 17 und OSGooD,,Sufficient conditions in the Calculus of Variations", Annals o f Mat h e m atic s
(2), Bd. II (1901), p. 105.
8) Da der Begriff der Ableitung, wie er gewöhnlich definiert wird, nur eine
Bedeutung hat für innere Punkte des Definitionsbereiches einer Funktion, so
ist noch eine besondere Festsetzung bezüglich der Endpunkte a und b notwendig.
Wir wollen dieselbe dahin formulieren, daß es möglich sein soll, die Definition
der Funktion f(x) so über das Intervall [ab] hinaus auszudehnen, daß die erweiterte Funktion für a' < x <b' die genannten Eigenschaften hat, wo a' <a,
b' >b. Dies ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß die betreffenden Ableitungen stetig sein sollen im Innern des Intervalls [ab] und sich bestimmten
endlichen Grenzen nähern sollen bei Annäherung an die Endpunkte (vgl. A IV 4).