Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 31. Das Feld und das Feldintegral. 255;z= (- 9a + a4) f-F(l+ <+ 'da
t0
Nun ist aber
d cd -
dtX, y dt Y
da die Kurve (3 eine Extremale ist. Wenn man noch beachtet, daß
wegen (10)
e(t, a) = cpt, qa)19 (t, a),(t, a) + 4(t, a) F7, (t, a),
so erhält man
Ü_ =U,J(,(t, a)a(t, a) + a(, a)4a(t, a) 14)
- [~,0,a) (p" (t0, a) + 99, tod + (t, a) (,a (to, a)+ 4, ~(t0 a) d,)t
Wir führen die Rechnung zunächst für den schon oben erwähnten
speziellen Fall weiter, wo die Extremalen der Schar (130) alle durch
den Punkt P1 gehen und die Kurve o auf den Punkt Po zusammenschrumpft. Das Feldintegral ist dann einfach das Integral J vom
Punkt Po nach dem Punkt P3 entlang der Extremalen (3. In diesem
Fall gelten für die Schar (130) die Gleichungen (81), und daher
reduziert sich der Ausdruck für azu/a auf:
=, a) a(t, a) +,(t, a)) 4 (t, a). (146)
Allgemeiner tritt dieselbe Vereinfachung allemal dann (und nur
dann) ein, wenn die Funktion t = Zo (a) der Differentialgleichung
^/(1, a) (9 (ta, ) + (t0, a) (147)
+, (t0 a) (p (10, a) + (10 ), a)- 0d
genügt. Da nach (140)
dl to dtJ t
qx< (to, a) + p, (to, a) 1 - _' (a), a (t0, a) + 4't(t0, a) - =,)
so läßt sich die Bedingung (147) auch schreiben
5Fx,(t0, a),' (a) -+, (t~, C) Yo' (a) = 0, (147 a)
oder auch in etwas anderer Bezeichnungsweise
F,(x, (y, x', y') ' -F (x, y, x', y') 2 4-= 0 (147 b)