Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

254 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
ta
Ja, (P4P3) =J(t, a3) dt = u(t, a3). (141)
t~
Derselbe ist zunächst als Funktion von t3, as gegeben; da er
jedoch durch die Lage des Punktes P3 eindeutig bestimmt ist, so ist
er zugleich eine im Felde oS eindeutig definierte Funktion von x3, y3,
die wir mit W(x3, y3) bezeichnen und das zum Feld of gehörige Feldintegral, gerechnet von der Kurve o aus, nennen.
Das Feldintegral ist also explizite gegeben durch die Gleichung
W(x3 y) = u (t x, y3 a (X3, y3)) (142)
c) Die partiellen Ableitungen des Feldintegrals:1)
Es sollen nunmehr die partiellen Ableitungen der Funktion
W(x3, y3) nach x3, y3 berechnet werden; dabei lassen wir jedoch der
einfacheren Schreibweise wegen den Index 3 bei den Größen x3, y.,
t3, a3 weg.
Aus (142) folgt zunächst
TV b at au ( aa _w au at a
__ c (i) t+(8t)~aa = ( I) +(a caZ,o (143)
~Zx ~ \at x aa x y at y F + a) y '
wobei wir wieder durch Einklammern andeuten, daß nach der Differentiation t, a durch t(x, y), a(x, y) zu ersetzen sind.
Weiter ergibt sich aus (141) nach den Regeln für die Differentiation eines bestimmten Integrals nach den Grenzen und nach
einem Parameter
at _ (t, aC), 44)
(144)
t
Aa + a + + y dtadt- (t2 da 2
t~
wobei durchweg von der Abkürzung (83) und (83a) Gebrauch gemacht ist.
Beachtet man jetzt, daß
Uta, WPa tt tabPatJ
und wendet auf das dritte und vierte Glied unter dem Integral die
Lagrange'sche partielle Integration an, so kommt
1) Nach KNESER, Lehrbuch, ~~ 14, 15, 20.