Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

252 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
wobei die Klammern andeuten, daß die Argumente von 9tp pa usw.
die Funktionen t, a sind.
Durch jeden Punkt P(x, y) des Feldes geht eine und nur eine
Extremale ea der Schar (130), für welche der Parameter a der Bedingung a - aO l k genügt, während gleichzeitig der den Punkt P
liefernde Wert von t der Ungleichung t, - h t < t2 + h genüigt.
Diese Extremale (a hat im Punkt P eine ganz bestimmte positive
Tangente; die Richtungskosinus p, q derselben sind daher im Bereich S eindeutig definierte Funktionen von x und y, die wir mit
p(x, y), q(x, y) bezeichnen. Ihre expliziten Ausdrücke sind nach (4)
p (x, y (x, y) - / ' + () + (t) (137)
V() + (~?t)' (x ) i/(cp)2 + (~t)2W
Nach den über qp und 4p gemachten Voraussetzungen sind die
Funktionen p(x, y), q(x, y) im Bereich eo von der Klasse C'.
b) Definition des Feldintegrals:
Wir nehmen jetzt auf der Fortsetzung des Bogens eo über P,
hinaus einen Punkt P (t = to) an, derart daß
_T < to < t, - h
und ziehen durch PO eine Kurve 9, die wir uns folgendermaßen
herstellen:
Es sei xo (a) eine im Intervall [a - k, ao + 7k] eindeutig definierte
Funktion von a von der Klasse C', welche der Anfangsbedingung
Xo (a)-to (138)
genügt. Durch Verkleinerung von k können wir dann stets erreichen, daß
rT,< X,() < t, - h (139)im ganzen Intervall [ao - k, ao + k].
Setzen wir dann
SP (ZXoa), a) = -o(a), (o (a), ca) -= Y)o (a), (140)
so sind die Funktionen o (a), o (a) von der Klasse C' in [a% - k, ao + k],.
und die Gleichungen
o: x = Xo(a), y = (a)
definieren eine Kurve, welche durch den Punkt Po geht.