Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 30. Die Weierstraß'sche Bedingung und die 8-Funktion. 243
Xc (t3) = x3' Y~ (t3) =-'3
X' (r3) = X3 y (v3)-Y3
gesetzt ist.
Andererseits ist
J43j F(X(r), / (r), X (r), y(r))dr,.ga - S
was wir unter Benutzung des Mittelwertsatzes wegen der Stetigkeit
der Funktion F(x(r), i (r), '(r), Y' ()) schreiben können
eJ43 E [F(X3, j38 X3, Y 3 ) + (2)] *
Beachten wir noch, daß
X3- =X3 3y = Y3,
so kommt
AJ== ~ { F(x3, y, 23, ys3) - F, (X3, 3, X3, y3) X3 - Fyt(X3, (x y3, x y.3) Ij'
+ (6) 1}
Da s eine positive Größe sein sollte, so folgt hieraus durch Verkleinerung von E, daß im Fall eines Minimums
F(X3, 2, 3 ß ') - Ft(X3, x X3, Y3 ) y 3 - Fy, (X3 Y, Y X3 23') y3 > O (119)
sein muß, und zwar für jede durch den Punkt P, gehende Kurve:
und weiterhin für jede Wahl des Punktes P, auf dem Bogen @o.
Wir führen jetzt die Weierstraß'sche 8-Funktionl) ein durch
folgende Definition:
S(x, y; x' y'; x, y') = 1
F(x, y, ' y') — [x'F,(x, y, x', y') + 'Fy(x(, y,, y')] 10)
oder, da nach (10)
F(x, y, x ', y') = x'F,(x, y, x', ~') + ~'F, (x, y, x', y'),
8(X,y; x',y'; ',y)-
F1',(x, y, ', ') -Fx (x, y, x', y')]. (120a)
+ i' [Fy(x, y, x, y') - F,(x, y, x', y')]
Aus den Relationen (9) und (13) ergibt sich die folgende Homogeneitätseigenschaft der 8-Funktion:
8(x, y; kx', ky'; k,, ky') = Gk8(, y; x, y'; ', i'), (121)
wenn die beiden Größen k7 und k7 positiv sind.
1) Für die Vergleichung mit KNESER beachte man, daß KNESER - 8 statt
des Weierstraß'schen + 8 schreibt, vgl. Lehrbuch, p. 75.
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