Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

238 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
so sind die Bedingungen für die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen (~ 22, e)) erfüllt; wir können daher die Gleichung (115) nach t auflösen
und erhalten eine und nur eine Lösung:
t = (t, a),
welche in der Umgebung der Stelle t = t', a = a von der Klasse C' ist und
der Anfangsbedingung
%(t', a0) = t'
genügt.
Aus der speziellen Form der Gleichung (115) und der Eindeutigkeit der
Lösung folgt, daß allgemein
X(t, a) = t
für jedes t in hinreichender Nähe von t'.
Wenden wir jetzt auf die Differenz
x(t, a) - (t, a)
den Taylor'sclen Satz mit Restglied an und brechen mit den Gliedern zweiter
Ordnung1) ab, so erhalten wir nach einfacher Rechnung:
t=-t+ ( —Pt (P + itpga + (a - a) r) (a-a- ).
Dabei sind die Argumente von pt usw.: t, a,, und r ist eine Funktion von t und
a, deren absoluter Wert in einer gewissen Umgebung der Stelle (t', a0) unterhalb einer endlichen Grenze bleibt.
Wir berechnen jetzt weiter den Abstand |PP P der beiden Punkten 1> und P.
Entwickelt man die Differenzen
X - x — cp (t, a) - p ((t, ao), a y - -, = a(t ) - p(t, ao)
mittels des Taylor'schen Satzes mit Restglied nach Potenzen von t- t, a - a
und bricht wieder mit den Gliedern zweiter Ordnung ab, so kommt, wenn man
für die Differenz t-t den gefundenen Wert einsetzt:
(A + (a - ao) V)t (a - ao).X - --
+(116)
(A + (a - aO) V) cPt(a - ao)
y y- y w2+ ' 2
Dabei sind die Argumente in (P, ist und der Funktionaldeterminante A wieder
t und ao, und V ist eine Funktion von t und a, welche in einer gewissen Um1) Hierzu ist allerdings nötig, daß ZXa in der Umgebung von (t', a,) existiert und stetig ist; dies findet statt, wenn wir die Annahme machen, daß außer
den unter B) erwähnten Ableitungen auch (Paa und Paa im Bereich (76) existieren und stetig sind. Dies ist sicher der Fall, wenn wir die Funktion F von
der Klasse CIV statt von der Klasse C"' voraussetzen, vgl. ~ 24, a) Zusatz 1.