Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 29. Die Jacobi'sche Bedingung für den Fall der Parameterdarstellung. 237
a(t, o) = 0
definiert werden.
Wir bemerken noch, daß aus den beiden Gleichungen
a(t ao)= 0, A(t,, ao) = 0 (113)
nach ~ 11, a) folgt, daß
At(tl, ao) + 0, At(t,', a0) + 0, (114)
da t, und t,' keine singulären Punkte der Differentialgleichung (102) sind.
c) Geometrische Bedeutung der konjugierten Punkte'):
Wir betrachten wieder eine beliebige Extremalenschar
x =p(t, a), y = p(t, a), (110)
welche die in ~ 27, d) unter A) bis D) aufgezählten Eigenschaften besitzt.
Auf der speziellen Extremalen e0
P
x = (t, a0), y -== (t, a),
nehmen wir einen Punkt P'(t') an, ---- *
wobei: Tl <t'< T2 sein soll. In
der Nähe von P' nehmen wir einen Fig. 33.
zweiten Punkt P(t) auf H an und
konstruieren in ihm die Normale. Die Gleichung derselben ist
(X -x)x'+ (Y-y)y'= 0,
wenn X, Y die laufenden Koordinaten, x, y die Koordinaten des Punktes P und
x', y' die Ableitungen von x, y nach t bedeuten.
Wir untersuchen jetzt den Schnitt dieser Normalen mit einer benachbarten
Extremalen ea der Schar (110)
Angenommen, die Normale schneide diese Extremale in einem Punkt P (, y),
der auf Ha dem Parameterwert t = t entspricht; dann haben wir zur Bestimmung von t die Gleichung
[(p(t, a) - p(t, a)] cpt(t, ao) + [~p(t, a)- i(t, a%)1 t(t, aO) == 0. (115)
Dieselbe wird erfüllt für t = t', t = t', a =- a und da nach (77)
pt~2(t', ao) + Pt2(t', ao) = o,
1) In der Hauptsache nach WEIERSTRASS, Vorlesungen 1879; vgl. auch KNESER,
Lehrbuch, p. 90.