Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

236 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Wir betrachten, für spätere Anwendungen gleich etwas allgemeiner als für unsere unmittelbaren Zwecke erforderlich wäre, eine
beliebige Extremalenschar
x= ((t, a), y = (t, ), (110)
welche die in ~ 27, d) unter A) bis D) aufgezählten Eigenschaften
besitzt.
Substituiert man dann in den beiden Differentialgleichungen (20)
für x, y die Funktionen P, tP und differentiiert die so entstandene
Identität nach a, so erhält man genau wie unter a) das Resultat,
daß die Funktionaldeterminante: u = A(t, a) der Schar (110) als Funktion von t der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter
Ordnung:
U^-ct? dt) ~0 (111)
genügt, welche wegen (75) für a = ao in die Jacobi'sche Differentialgleichung (102) übergeht.
In dem speziellen Fall, wo die Gleichungen (110) die Extremalenschar durch den Funkt Pt darstellen, folgt überdies aus (79) und
(82), da in diesem Fall to = t,
a(t1, ao) =,
und wir erhalten daher das Resultat:
Die Funktionaldeterminante
u = A(t, ao)
der Extremalenschar durch den Punkt P1 geniigt der Jacobi'schen
Differentialgleichmng
d E-, du\
U-
2 cl-dt(F dt)
und verschwindet fiir t = t1.
Daraus folgt aber, daß die Funktion A(t, a0) von der Weierstraß'schen Funktion &(t, to), welche dieselben beiden Eigenschaften
besitzt, nur um einen konstanten Faktor verschieden sein kann:
Atao)= c(t ), (112)
wo c eine wegen D) von Null verschiedene Konstante bedeutet.
Der zu t, konjugierte Wert t,' kann daher auch durch die
Gleichung