Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

232 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Ahnlich wie beim x-Problem erscheint die Jacobi'sche Bedingung auch hier in zwei verschiedenen Formen, von denen die eine
von WEIERSTRASS, die andere von KNESER herrührt.
a) Die WeierstraB'sche Form der Jacobi'schen Bedingung:
Die Jacobi'sche Differentialgleichung (9) von ~ 10 nimmt für
das Integral (91) die Form an
F2 -^ l 0, (102)
wobei die Funktionen F;, F2 sich auf die Extremale (o* beziehen.
Die Differentialgleichung (102) hat in dem offenen Intervall: t* < < tt*
keine singulären Punkte; denn nach ~ 27, c) sind die Funktionen
F2, F, F,1' stetig und es ist F, +0.
Das allgemeine Integral der Differentialgleichung (102) erhält man
nach WEIEESTRASS folgendermaßen: Substituiert man in der Differentialgleichung
1e - -d Fx, = o
für x, y das allgemeine Integral
x==f (t, a ), y -g(ta,ß), (64)
so wird die Differentialgleichung identisch befriedigt für alle Werte
von t, a, ß im Bereich (67). Differentiieren wir diese Identität nach ~,
so erhalten wir
F2 'x + Fxy~g + Fxx,fta + Fxy,gta
- It(Fxxfl + ExYgF + Fxix,fta + X,'yg9t) = 0.
In dieser Gleichung drücken wir die zweiten partiellen Ableitungen
von F mit Hilfe der Formeln (12a), (85), (86) und. (88) durch
L, 1/i, N, E1F, F aus, wobei wir vorübergehend durch Uberstreichen
andeuten, daß die betreffenden Funktionen für die allgemeine Extremale (64) zu berechnen sind. Nach einigen einfachen Reduktionen
erhält man
g~I, - _( _ 0,
wobei
co = gtf - ftg9.