Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 29. Die Jacobi'sche Bedingung für den Fall der Parameterdarstellung. 231
(F2) = -E (, ), (100)
und daraus schließlich
K = - -, E,(u, o). (101)
Der Ausdruck für K ist aber nichts anderes als das Krüiimmungsimaß') der
Fläche im Punkt (u, 0) der geodätischen Linie (o. Aus dem Ausdruck (93)
für die zweite Variation folgt jetzt der Satz2):
Wenn das Kriimmungsmaß der Fläche entlang dem Bogen Q, Q2 der geodätischen Linie beständig negativ ist, so ist die zweite Variation, der Bogenlänge
positiv.
Auf Flächen mit durchweg negativem Krümmungsmaß ist also a fortiori
die zweite Variation stets positiv.3)
~ 29. Die Jacobi'sche Bedingung für den Fall der Parameterdarstellung.
Wir haben nunmehr die Modifikationen zu betrachten, welche die
in ~~ 10 bis 14 entwickelte Jacobi'sche Theorie beim Ubergang zur
Parameterdarstellung erfährt.
Wir setzen dabei, sowie für die ganze weitere Diskussion, voraus,
daß die Legendre'sche Bedingung (II) für unsern Extremalenbogen
e_ erfüllt ist. Darüber hinaus machen wir aber noch die Ainnalize4),
daß die Funktion F, in keinem Punkt von eo verschwindet, so
daß also
I(x(), ), x(t), ()) > O für t t<t,.< (I>0)
Aus dieser scheinbar geringfügigen Verschärfung unserer Annahme
ergibt sich die wichtige Folgerung, daß wir auf den Extremalenbogen (o die Resultate von ~ 27, c) und d) anwenden dürfen.
1) Vgl. z. B. KNOBLAUCH, Krumme Flächen, ~ 24, (2) und ~ 27, (6). Der
Satz, daß K gleich dem Krümmungsmaß ist, ist von der Wahl des Koordinatensystems auf der Fläche unabhängig, vgl. p. 228.
2) Der Beweis mittels der Bonnet'schen Koordinaten ist nicht einwandfrei.
Es müßte noch gezeigt werden, daß durch jeden Punkt N in einer gewissen
Umgebung von (o nur eine zu (Wo orthogonale geodätische Linie gezogen
werden kann. Vgl. die Ubungsaufgabe Nr. 7 am Ende dieses Kapitels.
3) In dieser Form wurde der Satz zuerst von JACOBI (ohne Beweis) gegeben,
Journal für Mathematik, Bd. XVII (1837), p. 82, und Vorlesungen iber
Dynamik, p. 47. Bewiesen wurde der Satz zuerst von BONNET, loc. cit.
4) Der Ausnahmefall, wo F, in Punkten des Bogens (o verschwindet, bietet
große Schwierigkeiten und ist, abgesehen von einigen Andeutungen in den Vorlesungen von HILBERT vom Winter 1904/05, noch so gut wie gar nicht behandelt worden.