Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 28. Transformation der zweiten Variation. 229
eine die beiden Punkte P1 (u1, v1) und P2 (u2, v2) verbindende Extremale in der
u, v-Ebene, d. h. also eine der Differentialgleichung (38) genügende Kurve. Ihr
entspricht dann auf der Fläche eine die beiden gegebenen Punkte Q1 und Q2
verbindende geodätische Linie, die wir mit (~o bezeichnen.
Eine leichte Rechnung ergibt
EG -- F2
F1 (E:'2 + 2 F 'ut'v' + Gv(
Nach den über das Flächenstück 9L gemachten Annahmen (vgl. (35)) ist also F,
stets positiv und somit die Bedingung (II) stets erfüllt.
Für die weitere Diskussion der zweiten Variation legen wir zur Vereinfachung der Rechnung ein spezielles krummliniges Koordinatensystem auf der
Fläche zugrunde, das wir nach BONNET1) folgendermaßen wählen:
Durch einen beliebigen Punkt M der geodätischen Linie (o, ziehen wir
die zu (o orthogonale geodätische Linie, was nach ~ 27, a) stets möglich ist,
da hier die Bedingung (45) für jedes 00 erfüllt ist. Die positive Richtung auf
dieser geodätischen Linie wählen wir so, daß sie zur Linken der positiven
Richtung von (o liegt.
N sei ein beliebiger Punkt dieser orthogonalen geodätischen Linie. Wir
wählen dann als Koordinaten des Punktes N auf der Fläche die mit entsprechenden Vorzeichen versehenen Bogenlängen
arc Q, M l —=, arc MIN v.
Bei dieser speziellen Wahl der krummlinigen Koordinaten nimmt der Ausdruck
für das Quadrat des Linienelementes die folgende Form an:
ds2 -- E dtu2 + dv2,
wobei noch überdies die Funktion E (u, v) den
Bedingungen
E(u, 0) = 1, E~((, 0) = 0 (96)
genügt.
Denn da nach den getroffenen Festsetzungen Q1
die Kurve Fig. 32.
u - = konst., v t
eine Extremale ist, so folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung (38)
~ FG,- G(F,- G,) -0. (97
Da ferner: arc MNT = v sein soll, so folgt
1) Comptes Rendus, Bd. XL (1850), p. 1311; vgl. auch DARBOUX, Theorie
des surfaces, Bd. III, pp. 92-98.