Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 28. Transformation der zweiten Variation. 225
82F= s2 {F d()+2 + 2L9 '+ 2M(' + M-) + 2Np'W
+ (Fr- y"2F,) 2 + 2 (Fx + x"'yx F) x) + (Fy, - x"2F),
Man beachte jetzt, daß
2Lt' + 2M(2I' + 1') + 2Nj,'
dtL + 2M + N] -L dt + 2 d + dt
führt man daher die Abkürzungen ein:
dL
L1= F -x y F, d t'
M = Fxy + x"y"F- ' (86)
dN
N dt
so geht der obige Ausdruck für 42F über in:
62F= (F, F(dt)2 + L12+ 2M t + N1ja
+ dt[L + 2M + +N2j]}
Die drei Funktionen L1, Ms, N1 haben nun die wichtige Eigenschaft,
mit y', - x'y', x'2 proportional zu sein.
Beweis: Aus der Definition von L, M, N und den Relationen
(11) folgt:
Lx'+ My'= F, Mx'+ Ny'= F. (87)
Differentiiert man die erste dieser Relationen nach t, so kommt:
dL M,
dt x + dt y + Lx + My
- x'+ Iy +Fy' X + F," +
Es ist aber
Lx" + My"= Fx,x" + Fy+,y,
und aus (I) folgt, daß
Fy, - Fx, = F (x'y"- x"y').
Führt man diese Werte ein, so erhält man
Lx' + Mfly'= 0,
B o z a, ariationsrechnung. 15