Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 27. Existenztheoreme für Extremalen. 223
a = a setzt. Und diese Eigenschaften bleiben bestehen, wenn man
von der Normalform (73) durch eine Transformation der angegebenen
Art zur allgemeinen Form übergeht.
In Beziehung auf den Punkt Po gilt dann noch folgendes:
E) Der Wert von t, welcher auf der Extremalen a den Punkt
Po liefert, und den wir tf nennen wollen, ist eine Funktion1) von a,
die wir mit
t= Xo(a) (78)
bezeichnen. Diese Funktion ist im Intervall: a - aol d von der
Klasse C' und genügt der Anfangsbedingung
Zo(o) = to (79)
Wählen wir daher die beiden Größen T,, 12 so, daß: T, < to < T2
so folgt aus der Stetigkeit von Xo(a), daß wir d so klein annehmen
können, daß
T, Z o(a) T2 für a -ao ld.
Aus der Definition der Größe to folgt, daß identisch in a
op(tx, a) = Xo, '(t~, a) = Y; (80)
daraus ergibt sich durch Differentiation nach a
pt(t~, a) d~ + a(t ) 0
da~ a) O}(81)
~~ (to, a)..t o
t(tO, a) da + ~aa(t~, ca) = 0
und hieraus, identisch in a,
A(t0, ) = 0. (82)
Wir verabreden noch folgende permanente abkürzende Bezeichnung:
F(p(t, a), (t, a), pt(t, a), '(t, a))= - (t, a). (83)
Die entsprechende Abkürzung soll für die partiellen Ableitungen von
F, sowie für die Funktionen F1, F2 gebraucht werden, so daß wir
also z. B. schreiben
F,(gp(t, a), 4'(t, c), (p,(t, a), 4p, (t, a )) = 8(t a)
F,(p(t,( a),,(t, a), 5p,(t, a), t(t, a)) = (t, a). (83a)
1) Für die Normalform (73) ist t~ konstant gleich to; daraus ergibt sich t'
mittels der Transformation (71a).