Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

222 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Indem wir schließlich wieder t, a, c0 statt t, a, ao= a(ao) schreiben,
können wir den folgenden Satz aussprechen:
Durch jeden Punkt Po der Extremalen ~o* geht eine Extremalenschar
x = (t, a), y = (tt, a) (74)
welche folgende Eigenschaften hat:
A) Die Extremale (o ist in der Schar (74) enthalten für a = a,
so daß also
p (t, Cao) -- x(t),,(t, a) - y(t). (75)
B) Die Funktionen
(P, t, Ptt; 2n ~t, Ott
sind als Funktionen von t und a von der Klasse C' in dem Bereich
u <t Tz22, a-ao 1 <d; (76)
dabei sind T', Tr zwei beliebige Größen, welche den Ungleichungen
(65) genügen, und d ist eine positive, von der Wahl von T1 und T,
abhängige Größe.
C) Für jedes a im Intervall: a -a [ < d liegt der Bogen [T, T2]
der Extremalenl) S ganz im Innern des Bereiches 3l und es ist
F, (p(t, a), 4f(t, a), q1(t, a), ~4J(t, a)) + (77)
t,2(t, a) + t2(t, a) > o J
im Bereich (76).
D) Bezeichnen wir nach KNESER mit A)t, a) die Funktionaldeterminante
ZA(t, a)= P - tpa
und wird dem a irgend ein fester Wert im Intervalle a - ao <d
beigelegt, so ist die Funktion A(t, a) als Funktion von t nicht identisch null in [TiZ T].
Der Beweis dieser Behauptungen folgt für den Fall, daß die
Schar in der Normalform (73) angenommen wird, unmittelbar aus
den entsprechenden unter c) bewiesenen Eigenschaften der Funktionen f, g, aus denen in diesem Fall die Funktionen (p, einfach
dadurch hervorgehen, daß man ß = y, a = a setzt. Insbesondere folgt D)
aus der Ungleichung (70), wenn man beachtet, daß A(t, a) aus der
dort mit u1 bezeichneten Funktion erhalten wird, wenn man / y=o
1) So bezeichnen wir die einem bestimmten Wert von a entsprechende
einzelne Extremale der Schar (74).