Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

220 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
so ist die Determinante
a u29 +
t - at + O (70)
im Bereich (67).
Was den Beweis dieser Behauptungen betrifft, so folgt A) aus
der Darstellung (61) der Extremalen o *. Der Beweis von B) und
C) ergibt sich aus der Anwendung des Satzes von ~ 24, b) auf
die Lösung (53) des Systems (43) zusammen mit den in ~ 27, b) bewiesenen Stetigkeitseigenschaften der Funktionen X3 und ). Endlich
folgt D) aus (52) und (57), wenn man d so klein wählt, daß cos a + 0
für cc - O < d, was wegen (62) stets möglich ist.
Die Gleichungen (64) stellen das ~allgemeine Integral" der
Euler'schen Differentialgleichung (I) in einer Normalform dar, insofern sowohl der Kurvenparameter t als die,Inrtegrationskonstanten"
a, ß in ganz bestimmter Weise gewählt worden sind. Um daraus
das allgemeine Integral in seiner allgemeinsten Form zu
erhalten, müßte man schließlich noch statt der Größen t, a, ß drei
neue Größen t, c, p einführen, mittels einer Transformation von
der Form:
t = (t,,), = =c (~,3), p-3(, /3), (71)
wobei die Funktionen s, 2S, 3 den Bedingungen
(,t) s t(t, 2 o0 0i) > in
V-a(c/^)I = Cr=i]o 21 (72)
genügen müssen. Sind überdies die Funktionen Z, 3 ",; C, S, 3 im
Bereich (67) von der Klasse C', so haben die Funktionen f, g von
t, a, ~, in welche die Funktionen f, g durch die Transformation (71)
übergehen, die entsprechenden Eigenschaften wie die Funktionen f
und g. Aus dem allgemeinen Integral in seiner neuen Form geht
die Extremale 0o* hervor, indem man
= - - a -- (co ßPo) ß-ßo -3( (o, po)
setzt, und man kann die Transformation (71) stets so einrichten, daß
dabei die Extremale 0* in einer vorgegebenen Parameterdarstellung
erscheint.
Indem wir schließlich /;, t, t, /3 statt f, gy,, c, p schreiben,
können wir das folgende Resultat aussprechen: