Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

216 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
4. Endlich haben die Funktionen X, S), & folgende Periodizitätseigenschaften:
X(s; Xo, yo, 00+ 2c) = (s; Xoj, o Oo),
(s; Xo, yo, 0+ 2z)= Oj(s; Xo, yo, o) (52a)
9(s; Xo yo, o 0+ 2 2) = O(s; xo, yo, 00) + 2
denn aus der besonderen Form der Differentialgleichungen (43) folgt,
daß die Funktionen auf der rechten Seite den Differentialgleichungen
(43) genügen, und da diese Funktionen für s = 0 die Anfangswerte
Xo, yo, 00 + 2z annehmen, so müssen sie mit den Funktionen auf der
linken Seite identisch sein.
Aus der Lösung (49), welche die vorgeschriebenen Werte x0, y0, 00
für den speziellen Wert s= 0 annimmt, erhält man diejenige Lösung,
welche dieselben Anfangswerte für einen beliebigen Wert s = s annimmt, indem man s durch s - so ersetzt, also:l)
x X (s - so; Xo. Yo, 0o) 1
y = )(s - SO; 0X, 0, 00). (53)
= (s -so; Xo yv, 00)
Dies ist eine unmittelbare Folge davon, daß die rechten Seiten
der Differentialgleichungen (43) die Variable s nicht explizite enthalten.
Das "allgemeine Integral" des Systems (43) ergibt sich nach den
am Ende von ~ 24, a) gemachten Bemerkungen aus (53), indem man
einer der vier Größen so, X 0, Yo 0 einen passenden festen numerischen
Wert beilegt und die drei andern als die ~Integrationskonstanten"
betrachtet. Man erhält so ein dreifach unendliches Funktionensystem, aber nur ein zweifach unendlicJhes Kurvensystem im Ratum
der Variabeln x, y, 0. Denn gibt man z. B. der Größe xo einen festen
Wert und variiert die Größen so, Yo, 00, so liefern alle Lösungen,
welche demselben Wertsystem yo, 00 entsprechen, sich also nur durch
den Wert von so unterscheiden, ein und dieselbe Kurve, da sie ja
alle aus der Lösung, für welche s= 0 ist, durch eine zulässige
Parametertransformation hervorgehen (~ 25, a)).
1) Die Funktionen auf der rechten Seite von (53) als Funktionen von
s; o, xo, yo, 0o entsprechen den Funktionen px,(t; r, 1, n) der allgemeinen
Theorie (~ 24, a)).