Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

214 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
die Funktionen x (s), y(s), 0(s) (mindestens) von der Klasse C' und
die Extremale
x x(s), y = y(s), C < s < po (47)
liegt ganz im Innern des Bereiches 3 und genügt der Ungleichung
Fl(x()s), y(s), x'(s), y'(s)) +. (48)
Aus der speziellen Form der Differentialgleichungen (43) folgt
weiter, daß diese einzige Extremale der Klasse C' dann allemal sogar
von der Klasse C'" ist. Denn da die Funktion HI(x, y, cos 0, sin 0)
in der Umgebung der Stelle xo yo, 0 von der Klasse C' ist, so folgt
aus der letzten der Gleichungen (43), daß O(s) von der Klasse C" ist
und daher sind nach den beiden ersten Gleichungen x(s), y(s) von
der Klasse C"'.
Wenn die Bedingung (45) fiir jeden Wert von 00 erfüllt ist, so
kann man vom Punkt P0 aus nach jeder Richtung eine und nur eine
Extremale von der Klasse C' ziehen.
Diejenigen Wertsysteme, xo, y0, 00, für welche
F (xo, y0, cos 0o, sin 0o) -0
ist, nennen wir die singulären Anfangswerte. Wenn die Bedingung
(45) für jeden Punkt xo, y0 eines Bereiches der x, y-Ebene und für
jede Richtung 00 erfüllt ist, so sagen wir entsprechend') der in
~ 19, b) für das x-Problem gegebenen Definition, das vorgelegte
Problem sei in diesem Bereich regulär; dabei unterscheiden wir dann
nach dem Vorzeichen von F, noch,positiv` und "negativ regulär".
Beispiele:
1. F-== G(x, y) 1/x2+ y'. (vgl. ~ 32, b)).
Hier ist:
Fx, y, sy, cos 0 sin = G(x, y);
das Problem ist also regulär in jedem Bereich der x, y-Ebene, welcher keine
Punkte mit der Kurve G(x, y)= 0 gemein hat.
Yy'3
2. F- YY '-; (vgl. ~ 30, b));
daraus
F, (x, y, cos 0, sin 0) = 2y sin 0 (4 cos2 0 - 1).
Das Problem ist in keinem Bereich regulär. Zunächst sind alle Wertsysteme
singulär, in welchen y = 0; und außerdem für jeden beliebigen Punkt (x, y)
die durch die Gleichungen
sin 0 = 0, cos 0 = - +
definierten Richtungen.
1) Vgl. Gleichung (16) von ~ 25.