Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

210 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
a) Wir benutzen zunächst die Weierstraß'sche Form (I) der Euler'schen
Differentialgleichung und bezeichnen allgemein mit O(F) den Differentialausdruck
0(F) = F - F.^ + F, (x'y" - x"y').
Dann ergibt eine einfache Rechnung
(i/E + 2 Fu' v' + G'2 = (36)
(-l/Eu'2 + 2Fu'v' + Gv'2 \)3
r = (EG - F2) (u'v" - u"v')
+ (Eu' + Fv') [(F, - J Eu,) u'2 Gu6,'v' + I Gv'2] (37)
- (Fu' + Gv')[ E[,u'- E+ Eu'v' + (F, - G) v' 1.
Die Extremalen genügen daher der Differentialgleichung1)
r = 0. (38)
Diese Differentialgleichung besitzt eine einfache geometrische Bedeutung; die
geodätische Krümmung Kg der Kurve (33) im Punkt t wird durch den Ausdruck
Kg _ __ (39)
K EG -~ F\ (/Eu'2 + 2 Fu'v'+ G v'\)8
gegeben. 2)
Daher hat die kürzeste Linie die charakteristische Eigenschaft, daß ihre geodätische Krümmung beständig null3) ist, d. h. sie ist eine geodätische Linie nach
einer der verschiedenen Definitionen4) dieser Kurven.
Nebenbei bemerken wir die Relation
(1/'E '2 + 2Fu'v' -+ Gv'" ) = KgI/EG -,F2 (40)
die uns später von Nutzen sein wird.
1) Daß (38) die Differentialgleichung der geodätischen Linien ist, könnte
man direkt aus den Lehrbüchern über Differentialgeometrie entnehmen, z. B.
KNOBLAUCH, Flächettheorie, p. 140; BIANCHI-LUiAT, Differentialgeometrie, p. 154;
DARBOUX, Theorie des Surfaces, Bd. II, p. 403; SCHEFFERS, Theorie der Flächen,
p. 407.
2) Vgl. z. B. SCHEFFERS, Theorie der Flächen, p. 482. Eine elementare Ableitung dieser Formel findet man bei BOLZA,,Concerening the Isoperimetric Problem
on a Given Surface", Decennial Publications of the University of
Chicago, Bd. IX, p. 13.
3) Eine elegante, Ableitung dieses Resultates gibt BROMWICH (Bulletin of
the American Mathematical Society, Bd. XI (1905), p. 547) mittels einer
Transformation der ersten Variation des Integrals
y]/x'2+ y` + z'2 t.
p/tl +y"4- dt.
4) Vgl. DARBOLX, Theorie des Surfaces, Bd. II, Nr. 514.