Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

208 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Ist a==0, so wählen wir für den Parameter t den Tangentenwinkel der
Kurve; das ist gleichbedeutend mit der,Zusatzgleichung":. -. ö..- =cos t, (29)
welche (28) auf
y -yi k -= (1 + cos 2t) (30)
reduziert, wo zur Abkürzung
1
ge2att
gesetzt ist.
Aus (30) folgt durch Differentiation
y' = - 2 sin 2t
und durch Einsetzen dieses Wertes in (29),
x =+ + 4a cos2 t.
Machen wir schließlich die Substitution
2t r-,
so erhalten wir das Resultat:
x - - 1+ = a+ a( - sinv) )
y- -~ Y - = c (1- cos ), J
wobei p die zweite Integrationskonstante ist. Die Extreelalen sind also Zykloiden 1),
die durch einen Kreis vom Radius a erzeugt werden, der auf der Geraden
y - y- +- k = 0 rollt.
Unter dieser doppelt unendlichen Schar von Zykloiden gibt es eine und
nur eine ), welche durch die beiden gegebenen Punkte P1 und P, geht und
1) Schon von JOHANN BERNOULLI (1696) gefunden, siehe OSTWALD's Klassiker etc.,
Nr. 46, p. 3. Vgl. auch CANTOR, Geschichte der Mathematik, Bd. III, pp. 225
bis 228.
2) Für den speziellen Fall, wo v1 = 0, hat schon JOHANN BERNOULLI (1696)
einen geometrischen Beweis gegeben (loc. cit.); derselbe ist von H. A. SCHWARZ
auf den allgemeinen Fall ausgedehnt worden (siehe HANcocK, Lecttres, Nr. 105).
Rein analytische Beweise geben HEFFTER, ~Zum Problem der Brachistochirone",
Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. XXXIV (1889) und BOLzA,
"The Determination of the Constants in the Problem of the Brachistochrone"',
Bulletin of the American Mathematical Society (2), Bd. X (1904), p. 185.
E. H. MOORE hat gezeigt, daß der betreffende Satz ein spezieller Fall eines
allgemeinen Satzes über eine gewisse Klasse von Kurvenbogen ist ("On Dloubly
Infinite Systems of directly Similar Arches with commton Base Line",
Bulletin of the American Mathematical Society (2), Bd. X (1904),
p. 337.