Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 26. Die Differentialgleichung des Problems. 205
Nachdem man eine bestimmte Wahl über den Parameter t getroffen hat, erhält man die allgemeine Lösung in Form eines Paares
der Klasse D' sind, welche für t -- t und t =- t2 verschwinden, so wird im allgemeinen der Parameter t für di nicht mehr dieselbe Bedeutung haben, wie für
C, d. h. S, y werden im allgemeinen nicht mehr der Relation (22a) genügen,
also wird sich auch für die Kurve ~ die Funktion F nicht mehr auf die Form F'
reduzieren lassen. Daher müssen wir schreiben
t2
AC J=/jF(x, y, x, y')dt
und dürfen nicht schreiben
J^ =fJ X,, 7x, Oy~dt.
tl
Daraus folgt, daß auch in 6J und daher schließlich in den Differentialgleichungen (20) und (I) die Funktion F und nicht F0 gebraucht werden muß.
Erst jetzt, in den fertigen Differentialgleichungen, darf,man die aus der Adjunktion von (22a) sich ergebenden Reduktionen vornehmen.
So führt z. B. die Aufgabe das Integral
t2
J = y Vx+y dt
t,
zu einem Minimum zu machen, wenn man den Bogen s als unabhängige Variable
einführt, auf das Integral
J - =Jyds.
Wollte man hier unter Vernachlässigung der obigen Warnung, mechanisch
die früheren Regeln auf das reduzierte Integral anwenden, so würde man für
die Differentialgleichung (I) das falsche Resultat 1 = 0 erhalten.
Es gibt allerdings noch eine zweite Methode, die Aufgabe zu behandeln:
sie besteht darin, daß man nicht nur für die gesuchte Kurve, sondern gleichzeitig füir siiätliche zulässigen Kurven den Parameter t in derselben Weise spezialisiert, d. h. den sämtlichen zulässigen Kurven die Nebenbedingung (22 a) auferlegt. Dann sind aber die Funktionen d, r nicht mehr willkürlich, und man
hat es mit einem ganz anderen, und zwar viel komplizierteren Typus von Aufgaben zu tun (vgl. Kap. XI).
Das obige Beispiel würde in der neuen Formulierung lauten: Unter allen
Funktionenpaaren x, y, welche der Nebenbedingung
x' + y' = 1
genügen, dasjenige zu finden, welches das Integral
J j = yds
zu einem Minimum macht. 'Y
(Vgl. LINDELjF-MOIGÄNO,. LeXconsS, Nr. 116-120.)