Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 26. Die Differentialgleichung des Problems. 203
und macht dabei von den Relationen (11) und (12a) Gebrauch, so
erhält man die Identitäten
d v d t
F- - - Fd y VT, FT E- F, - xT, (23)
wo
1\Sx, y; x',y'; x", y-) Fx - Fy,+F(x'y"-x"y'). (23 a)
Da x' und y' nicht gleichzeitig verschwinden, so sind die beiden
Differentialgleichungen (20) äquivalent mit der einen Differentialgleichung
F - F, + F1(x'y - x"y') 0. (I)
Dies ist die Weierstraß'schel) Form der Euler'schen Differentialgleichung. Ihr muß jede Kurve, welche das Integral J zu einem
Extremum macht, genügen. Jede den beiden Differentialgleichungen
(20) genügende Kurve soll nach KNESER wieder ein Extremale heißen.
Führt man die Krümmung - der Kurve ein, so kann man nach
(6) die Differentialgleichung (I) auch schreiben:
1 -- y'x F
r - -sät (-jP8Y,27__(23 b)
r [,a(8Zö9!t y'B:!
Die Krümmung bleibt invariant unter jeder Parametertransformation, ebenso die rechte Seite von (23b), wie man sich leicht mittels
der Formeln (9) und (13) überzeugt.
Aus den Formeln (23) leitet WEIERSTRASS eine wichtige Umformung der ersten Variation ab. Formt man in dem Ausdruck (18)
Dies findet z. B. statt, wenn man für t die Bogenlänge wählt, was sich analytisch dadurch ausdrückt, daß man den Differentialgleichungen (20) die weitere
hinzufügt:
x '2+y2=1 (22)
Ist in dem Punkt, für welchen man die Existenz von x", y" beweisen will,
y' =0 -, x' und y' sind nicht beide null, -- so leitet man, indem man ganz
analog wie im ~ 5, d) verfährt, aus den beiden aus (20) und (22) folgenden
Gleichungen:
L F- L 0-0
At=O At At
Ausdrücke für die Differenzenquotienten
Ax' Ay'
At ^ At
her, an denen man dann den Grenzübergang mit dem oben angegebenen Resultat
ausführen kann.
1) WEIERSTRASS, Vorlesungen.