Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 26. Die Differentialgleichung des Problems. 201
Das eben behandelte Beispiel ist nur ein spezieller Fall eines allgemeinen,
von WEIERSTRASS herrührenden Satzes (vgl. ~ 30, b)), wonach das Integral
t2
FF(x, y, x', y')dt
t.l
überhaupt kein Extremum besitzt, wenn F(x, y, x', y') eine rationale Funktion
von x', y' ist, während das entsprechende x-Problem sehr wohl eine Lösung besitzen kann.
Schließlich sei noch bemerkt, daß man in allen Fällen, wo es sich nur um
die Untersuchung einer Kurve der Klasse C' in der Umgebung eines
einzelnen Punktes handelt, die Kurve ohne Beschränkung der Allgemeinheit
stets in der Form: y y(x) annehmen darf, da man stets durch Drehung des
Koordinatensystems erreichen kann, daß in der Umgebung des betreffenden
Punktes x' > 0.
~ 26. Die Differentialgleichung des Problems.
Das Verfahren zur Aufstellung notwendiger Bedingungen für ein
Extremum ist zunächst ganz analog wie in ~ 4; wir werden daher
nur diejenigen Punkte ausführlich erörtern, in welchen die Behandlung
in Parameterdarstellung charakteristische Eigentümlichkeiten aufweist.
a) Die Weierstraß'sche Form der Euler'schen Differentialgleichung:
Wir nehmen an, wir hätten eine Kurve ( gefunden, welche das
Integral J zu einem Minimum macht. Wir setzen fürs erste ) voraus,
die Kurve ( sei von der Klasse C' und liege ganz im Innern des
Bereiches 3l. Sie sei durch irgend einen zulässigen Parameter ausgedrückt in der Form: = x(t), y- y(t), t < t < t,
wobei wir darauf aufmerksam machen, daß jetzt die Endwerte tj, t2
unbekannt sind. Wir ersetzen die Kurve (E durch eine benachbarte
Kurve von der speziellen Form: x -x(t) + et(t), y = y(t) + S (t), t<t < t2, (17)
wo c eine kleine Konstante ist und e(t), (t) Funktionen von t von
der Klasse2) D' sind, welche in t, und t2 verschwinden, sonst aber
willkürlich sind. Wir schließen dann ganz wie in ~ 4, daß
J= O, 6'J> 0
sein muß, wo wieder
1) Wir werden uns von diesen Beschränkungen in Kap. VIII befreien.
2) Vgl. die Definition ~ 10, c). Die Zulassung von Vergleichskurven mit "Ecken"
macht nur ganz unwesentliche Modifikationen der früheren Schlußweise nötig.