Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

200 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
definiert, wobei es freilich vorkommen kann, daß die Funktion F nicht allen
von uns vorausgesetzten Bedingungen genügt.
Aus (15 a) folgen die Relationen
F.. =fxx. Vly fy}
F = f-Px', = fp,(/)
F F, = f --,, F',' --
Da die Menge 9L in der Menge 9Tl enthalten ist, so folgt, daß jede
Lösung des t-Problems, welche überdies der Bedingung (14) genügt, a fortiori
auch eine Lösung des x-Problems liefert. Das t-Problem kann aber auch
Lösungen besitzen, welche die Bedingung (14) nicht erfüllen, und welche daher
keine Lösungen des x-Problems sind. Ein Beispiel dieser Art ist die bekannte
"diskontinuierliche Lösung" beim Problem der Rotationsfläche kleinsten Inhalts
(vgl. ~ 52).
Es kann aber auch umgekehrt das x-Problem Lösungen besitzen, welche
nicht zugleich Lösungen für das t-Problem sind. Ein einfaches Beispiel') dieser
Art liefert die Aufgabe, das Integral
S..
J- fy' dx
x1
zu einem Minimum zu machen, wobei die Endpunkte 1P und P, die Koordinaten:
(x, Yi) = (0, 0), (x2, y2) = (1, 1) haben sollen. Dann liefert die Gerade P, P,:
y x ein starkes Minimum für das Integral und zwar ist der Minimalwert
J-+ 1. Denn ersetzt man y durch y + co, wo co irgend eine Funktion der
Klasse C' ist, welche in beiden Endpunkten verschwindet, so ist
I i
J== f2Co'y' -+ 0 dx — / dx,
o o
also AJ> 0.
Dagegen liefert dieselbe Gerade P, P, für das entsprechende t-Problem, wo
t2
t d
kein Minimum. Denn man kann in jeder noch so kleinen Umgebung von Pt1 1',
die beiden Punkte PI und P2 durch eine Zickzacklinie verbinden, welche abwechselnd aus geradlinigen Stücken vom Gefälle 0 und - 1 besteht. Für eine
solche Zickzacklinie wird aber offenbar das Integral Jnegativ, also sicher kleiner als 1.
Die betrachtete Zickzacklinie ist für das t-Problem eine zulässige Variation,
nicht aber für das x-Problem.
1) Dasselbe rührt von BROMwICH her, vgl. Mathematical Gazette,
Bd. III (1905), p. 179. Ein anderes Beispiel dieser Art ist unser Beispiel X,
p. 113, in dem Fall, wo im > 0, oder m < — 1; man benutze dieselbe Zickzacklinie wie im Text.