Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 25. Formulierung der Aufgabe. 199
Dieselbe Unterscheidung gilt auch für Aufgaben von allgemeinerem Typus.
So sind z. B. das Hamilton'sche Prinzip und das Prinzip der kleinsten Aktion
in der ersten (Lagrange'schen) Form Funktionenprobleme, weil hier die
Koordinaten der Punkte des Systems als Funktionen einer ganz bestimmten unabhängigen Variabeln, nämlich der Zeit, gesucht werden. Dagegen ist das
Prinzip der kleinsten Aktion in der zweiten (Jacobi'schen) Form, bei welcher
die Zeit eliminiert ist und nur die Bahnen bestimmt werden, ein Kurvenproblem (vgl. Kap. XI).
Betrachtet man die Aufgabe das Integral
J- = F(x, y, x' y')dt
zu einem Minimum zn machen, einmal in Beziehung auf eine gewisse Menge 1Lt
von zulässigen Kurven, das andere Mal in Beziehung auf eine andere Menge 9L,
so sind dies zwei ganz verschiedene Aufgaben, und man muß im allgemeinen
erwarten, daß auch ihre Lösungen verschieden sind.
-Wir wählen nun für 9T die Gesamtheit aller Kurven der Klasse C', welche
im Bereich St vom Punkt P1 nach dem Punkt Pa gezogen werden können, und
für f9 die Gesamtheit derjenigen Kurven von RT, für welche beständig
x'(t) >. (14)
Für jede Kurve von L können wir dann x als Parameter einführen, und erhalten die Kurve in der Form
y-y (x),
wo y(x) eine Funktion der Klasse C' ist, während das Integral J übergeht in
X2
J -Äf x, Y, dx] dX,
x,
wenn wir die Funktion f(x, y, p) durch
f(x, y, p)= '(x, (, 1, p) (i5)
definieren. Die zweite Aufgabe ist aber identisch mit dem Problem, das wir
in den drei ersten Kapiteln behandelt haben.
So gehört also zu jedem,t-Problem", wie wir sagen wollen, ein entsprechendes,x-Problem", das durch Hinzufügung der Bedingung (14) daraus
hervorgeht. Ebenso kann man rückwärts von einem gegebenen,x-Problem" zu
dem entsprechenden,t-Problem" üibergehen, indem man
_ '
P —.
x
setzt und demnach
F(x,y x', y') f(x, y, (ita)