Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

186 Viertes Kapitel. Hilfssätze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
3. Setzt man in der Funktionaldeterminante
a(F?, F2,...(, 2 F )
a(x X, X~',..., x,')
x o x
xk. = (0, x = (t), k = 1, 2,..., n,
so ist die so entstehende Funktion von t von Null verschieden
in [t t2].
Alsdann gelten für die durch den Punkt (r ,g., ) gehende
Lösung
xZ; = (; i(t;,. * L) 7 = 1,2,,,n)
des Systems (54) dieselben Folgerungen, wie in ~ 24, b) für die
gleichbezeichnete Lösung von (20).
Zum Beweis wenden wir auf das Gleichungssystem (54) den
erweiterten Satz über implizite Funktionen von ~ 22, e) an. Der dort
mit @ bezeichneten Punktmenge entspricht hier die Menge:
' r X== x '(t, ' Xk,, = x= (t), tl t t2 n,
(k l, 2,..., ),
welche in der Tat nach A VII 1 beschränkt und abgeschlossen ist
und ganz im Innern des Bereiches 9 liegt. Sind ferner
(ta, x1..., X *n,,..., * x) und (tn x.., x, x n., x, )
zwei verschiedene Punkte von (o', so muß notwendig t = t sein, es
ist also dann auch allemal
(t, x"-..., Xn) S+ (t, X,.., X);
somit ist auch Bedingung C) des Satzes erfüllt, und ebenso D) wegen
unserer dritten Voraussetzung.
Daher lassen sich die Gleichungen (54) im Sinne von ~ 22, e)
in der Umgebung der Punktmenge (o' eindeutig nach xl..., x,
auflösen:
Xk = fk(, xl,..., X) -, 2,..., n, (55)
und die Funktionen f" sind in einer gewissen Umgebung Cy von o
eindeutig definiert und von der Klasse C'.
Nunmehr ergibt sich der Beweis unserer Behauptung, indem man
den unter b) bewiesenen Satz auf das Normalsystem (55) anwendet.
e) Anwendung auf Systeme von Differentialgleichungen, welche
konstante Parameter enthalten:
Es sei ein System von n Differentialgleichungen gegeben, welche
r Parameter A,..,2 A enthalten: