Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 24. Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten. 183
Wählen wir daher den Punkt (r0, e~,..., ~~) insbesondere auf
der Kurve o,2 so daß also
- o= X(,o), (46)
so gilt nach ~ 23, c) und d) die Doppelidentität
Xk(o)) = (t; po 1 o, * ' ' ) 9Wk(t; %o 1,. n ).
Zugleich sagt alsdann die Ungleichung (45) aus, daß unter der Voraussetzung (44) die Lösung (42) von (41) ganz in [6] liegt. Daher muß
dieselbe nach der eben gemachten Bemerkung auch dem System (20)
genügen, und da sie durch den Punkt (r, e,..., n) geht, so ist sie
mit der durch das Symbol
X = (t; r,,..., i) (28)
definierten Lösung von (20) identisch. Somit existiert auch die
letztere mindestens im ganzen Intervall [t1tj], vorausgesetzt daß die
Ungleichungen (44) erfüllt sind. Damit ist aber unser Satz bewiesen.
Zusatz: Die Lösung (28) existiert sogar sicher noch in einem
etwas weiteren Intervall. Denn da die Lösung (0 ganz im Innern
des Bereiches L liegen sollte, so läßt sie sich nach ~ 23, d) auf
ein etwas weiteres Intervall
ti - ei < t< 1t + -
fortsetzen, wo er, e, zwei hinreichend kleine positive Größen sind.
Und nun kann man in dem vorangegangenen Beweis das Intervall
[t-, -e t2 + e2] für das Intervall [t1 t] substituieren und erhält das
Resultat, daß die Lösung (28) für jedes den Bedingungen (44) genügende Wertsystem r, t.,.. auch noch in dem weiteren
Intervall [t -el, - +e2] -existiert, wobei wir noch besonders hervorheben, daß e1, e2 von r,,..., e, unabhängig sind.
Wählt man insbesondere v = r0 und setzt
'}k(t; 0, n1;. * *. n) -= g-(t; 1 '* ' e.n) (47)
so stellen die Gleichungen
X k 9k g(t; 1,i * * *n)
eine n-fach unendliche Schar von Lösungen (das sogenannte "allgemeine Integral") des Systems (20) dar, welche die gegebene Lösung
oQ enthält, nämlich für e = ~,. = n o~. Die Funktionen
aYk bgk Y gk _ 2gk
gk! at? adi ' At0 =ä aai At