Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

174 Viertes Kapitel. Hilfssätze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
ß2 = + ß2, 3 ß = 32 +,2 '
hinzufügen. Andererseits können wir eine analoge Reihe von Fortsetzungen nach der negativen Seite hin bilden mit den Mittelpunkten
Cr = r - l, 7 = cq -- ll, %s = c - 12,....
Da die Größen ßv, mit v wachsen, so nähern sie sich für v —o
einer bestimmten Grenze pA, die endlich oder + -c sein kann;
ebenso nähern sich die ac einer Grenze ca, welche endlich oder - oo
sein kann.
Wir erhalten daher durch den angegebenen Prozeß eine durch
den Punkt A gehende Lösung SA, welche für das offene Intervall
CA < t < A
definiert ist, und im Innern des Bereiches (L liegt.
Nach BLISS gilt der Satz:
Wenn bei Annäherung der Variabeln t an den Wert a a (resp.
pß) der entsprechende Punkt der Kurve,A sich einer bestimmten
endlichen Grenzlage P, (resp. Q9) nähert1), so muß der Punkt PA
(resp. Qa) auf der Begrenzung des Bereiches (X liegen.
Hieraus folgt: Ist
xk Xk~(t) T t < t2
irgend eine ganz im Innern von. gelegene Lösung des Systems
(20), und ist A(r, r,...,. ) irgend ein Punkt von (o, so ist
cA < r1, ßP > t2
und (o ist ein Stück der Kurve Q,.
Hieran knüpfen wir noch folgende prinzipiell wichtige Bemerkung:
Die bei dem Fortsetzungsprozeß gebrauchten Größen 1, l, 1..
sind innerhalb gewisser Grenzen willkürlich. Mit Hilfe des eben angegebenen Satzes läßt sich jedoch leicht zeigen, daß die Grenzwerte
cA und ßp, sowie die Kurve GA von der Wahl dieser Größen unabhängig und somit durch den Punkt A eindeutig bestimmt sind.
1) Dies tritt nach BLISS (loC. eit. p52) stets ein, wenn &C beschränkt
und abgeschlossen ist.