Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 23. Existenztheoreme für Systeme von Differentialgleichungen. 171
also wegen (24)
<d < t s (25)
i
Beachtet man, daß für die vordere Deriviertel) von ue t die Ungleichung gilt
d-Uk d -- dtbt
dt < dt < lt
so folgt hieraus
d \ u
— Kn uif < - t < Kni u,
d i
woraus man durch Integration zwischen den Grenzen to und t die
folgende von PEANO2) herrührende Ungleichung erhält:
ni x(t) - x(t) < e' -to (to) - x(to), (26)
Ui=1' - ) l <e i=1
für
t
wenn it irgend einen Wert von t im Intervall [aß] bedeutet.
c) Einzigkeit der Lösung:
Wir kehren jetzt wieder zu den Annahmen und Bezeichnungen
von ~ 23, a) zurück. Es sei
x: = x(f), c<t< ß, =l, 2,...,,
irgend eine für ein gewisses Intervall [ccß] definierte Lösung des
Systems (20), welche ganz im Innern des Bereiches (c liegt3).
Dann können wir nach ~ 21, a) eine positive Größe a so klein
wählen, daß auch die geschlossene Nachbarschaft [d] der Kurve (,
d. h. der durch die Ungleichungen
< t < *.i xk- x(t) |, =1, 2,...,,
definierte Bereich ganz im Innern von c liegt.
1) Vgl. BLISS, loc. cit., p. 54, Fußnote; vgl. auch A IV 1.
2) Vgl. Nouvelles Annales (3), Bd. XI (1892), p. 79 und Atti diTorino,:
Bd. XXXIII (1897), p. 9.
8) Das soll heißen: für jedes t im Intervall [aß] liegt der Punkt
t, x1(t),.., x(t) im Innern von QL.