Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 23. Existenztheoreme für Systeme von Differentialgleichungen. 169
C) Der Punkt A(1r, 12.., ) liegt im Innern des Bereiches (C.
Den Bereich LC nennen wir den,Stetigkeitsbereich des Systems (20)".
Es soll eine Lösung des Systems (20) bestimmt werden, welche den
Anfangsbedingungen
k(r)=, 7 1, 2,..., n, (21)
genügt.
a) Bestimmung eines Elementes der Lösung:
Da der Punkt A im Innern von Q liegt, so läßt sich eine
positive Größe Q so bestimmen, daß auch die geschlossene Umgebung
[Q] des Punktes A, d. h. der durch die Ungleichungen
|t T- I, x L- r | < Q Ix: <- Q
definierte Bereich, ganz im Innern von (9 liegt. In dem abgeschlossenen Bereich [Q] erreicht jede der stetigen Funktionen
fk(t, x1, x2,... xn) einen endlichen Maximalwert; sei 11 der größte
derselben, und sei 1 die kleinere der beiden Größen: 9, -'
Alsdann gibt1) es ein Funktionensystem (eine "Kurve")
X x = X(t), k = 2,..., n, (22)
welches fiir das Intervall: 1 - v l1 eindeutig definiert ist und in
demselben folgende Eigenschaften besitzt:
1. Die Funktionen xk(t) sind stetig und differentiierbar.
2 Sie genügen den Ungleichungen:
X~ (t)- i < (23)
3. Sie genügen dem System von Differentialgleichunzgen
dt = tf(t, Xx..., X). (20)
4. Sie geniigen den Anfangsbedinglugen
Xk(t) = k. (21)
Eine Folge dieser Eigenschaften ist, daß auch die Ableitungen
xk(t) in demselben Intervall stetig sind.
Da die gefundene Lösung vorläufig nur für eine gewisse Umgebung von t =r definiert ist, so nennen wir sie ein,Element" der
1) Zuerst von CAuCHY bewiesen, vgl. PICARD, Traite, Bd. II (1905), p. 322 —330,
340-345; GOURSAT, Cours d'Analyse, Bd. II, p. 369 —371, 376-382.