Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

4 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
J Xyd2
xl
den größten Wert erteilt.
Das charakteristisch Neue besteht hier also darin, daß den zum
Vergleich herangezogenen Kurven außer den Anfangsbedingungen noch
die weitere Beschränkung auferlegt wird, daß sie einem gewissen bestimmten Integral einen vorgeschriebenen Wert erteilen sollen.
Unser Beispiel ist also ein spezieller Fall der Aufgabe, ein Integral von der Form
J= f(x, y, y')dx (1)
Xl
zu einem Extremum zu machen, während gleichzeitig die zulässigen
Kurven einem zweiten Integral
X,
K=g(x y, y')dx (3)
einen vorgeschriebenen VWert 1 erteilen sollen.
Aufgaben dieser Art heißen ~isoperimetrische Probleme"; wir werden
dieselben in KapitelX betrachten, und zwar, im Hinblick auf die vielen
geometrischen Aufgaben dieser Art, in Parameterdarstellung.
Die nächstliegende Verallgemeinerung besteht darin, daß man bestimmte Integrale betrachtet, in denen die Funktion unter dem Integral
nicht nur die erste, sondern auch h7öhere Ableitungen der unbekannten
Funktion y enthält, also Integrale der Form
x2
J =f(x, y, y,, y (n )) dx. (4)
Xi
Diese Klasse von Aufgaben hat in der Geschichte der Variationsrechnung eine gewisse Rolle gespielt, ist jedoch gegenwärtig, wo die
rein formalen Fragen mehr in den Hintergrund getreten sind, von
geringerem Interesse, teils weil sie in einer weiter unten zu betrachtenden allgemeineren Klasse als Spezialfall enthalten ist, teils weil
kaum irgendwelche interessante geometrische oder mechanische Probleme
zu dieser Kategorie gehören.1)
1) Wir geben am Ende von Kap. III einige Andeutungen über Aufgaben
dieser Art; im übrigen verweisen wir auf PASCAL, lo. cit., ~~ 2-7, 16, 19-22,
und ZERMELO, Untersuchungen zur Variationsrechnung, JDissertation (Berlin 1894),
sowie ~~ 1, 4, 6, 12, 13, 14 in KNESER's Artikel über Variationsrechnung in der.Encyklopädie der mathematischen W~issenschaften, II A 8, und KNESER, Lehrbuch
der Variationsrechnung (Braunschweig, 1900), 6. Abschnitt.