Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 22. Ein Satz iber eindeutige Abbildung und seine Anwendungen. 165
(wobei T, < t1, t < 7T2), hat keine mehrfachen Punkte, d. h. zwei verschiedenen Werten von t im Intervall [tlt2] entsprechen stets zwei
verschiedene Punkte der Kurve -o.
C) Die Funktionaldeterminante
n(t aV (. * +, )
(t, a,..., a) (t, al,..., a)
ist von Null verschieden entlang,o d. h.
a(t,a..., a~) + 0 in [Ctt2l. (13)
Alsdann lassen sich die positiven Größen h k,..., k9 so klein wählen,
daß die Gleichungen (12) eine ein-eindeutige Beziehung zwischen dem
Bereich: tl-ht t2+7, + h i- a i - a i, k =1,2,...,
und dessen Bild S im (x)-Raum definieren, und daß gleichzeitig, (t,,,.., 2 j) + (14)
im ganzen Bereich (.
Das Bild fS' des Bereiches
"': tx - h < t < t2 + h, l a< a<,, i-1, 2,..., n,
bildet dann ein Kontinuum, und die durch Auflösung der Gleichungen
(12) erhaltenen inversen Funktionen
t t(x1,..., x+ )
a. -.(x1..., X.,= an (X;l *...* X, -ix + l)
sind im Bereich J' von der Klasse C'.
Der Satz ist ein spezieller Fall unseres erweiterten Inversionssatzes. Der dort mit C bezeichneten Punktmenge entspricht hier
die Menge: t t t2 C, a a,0 i==12,.,,
welche in der Tat beschränkt und abgeschlossen ist und ganz im
Innern von (12a) liegt. Der Satz ergibt sich dann unmittelbar, wenn
man noch beachtet, daß die Umgebung (9)G hier nichts anderes ist
als der Bereich
t - Q < t< t2 +, a~ - ai~ < 9, i = 1, 2,.., n.
Man hat dann nur hl, k-.., k7 < o zu wählen.