Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

164 Viertes Kapitel. Hilfssatze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
Punkt (y) in der Umgebung (E) des Punktes (y') die Gleichungen (5)
eine und nur eine Lösung (x) in der Umgebung (6) des Punktes (x')
besitzen, und daß gleichzeitig die inversen Funktionen pi(y,.., yi)
in der Umgebung (E) von (y') von der Klasse C' sind.
Jeder Punkt (y) in der Umgebung (E) des Punktes (y') ist daher
das Bild eines Punktes (x) des Bereiches (e)e und gehört daher zur
Menge eV. Das heißt aber, jeder Punkt der Menge So, ist ein innerer
Punkt von un, und zugleich folgt, daß i(yv,. dn) in He von der
Klasse C' ist.
In dem speziellen Fall, wo der Bereich (9), zusammenhängend ist, ist auch oY zusammenhängend'); in diesem Fall ist
daher der Bereich oS ein Kontinuum2).
Aus dem eben bewiesenen Zusatz ergibt sich unmittelbar der
folgende
Zusatz II: Bezeichnet 8 das durch die Transformation (5) definierte Bild der Mlenge ( im (y)-Raum, so läßt sich unter den Voraussetzungen 4) bis D) neben der Größe Q eine zweite positive Größe a
bestimmen, derart, daß die Gleichungen (5) für jedes (y) in der Umgebung (a), eine und nur eine Lösung (x) in der Umgebung (Q)e besitzen.
Denn da (2 beschränkt und abgeschlossen ist, so ist auch 8 beschränkt und abgeschlossen3), und nach dem eben Bewiesenen liegt
8 ganz im Innern von oe. Also können wir nach ~ 21, a) 6 so
klein wählen, daß die Umgebung (6)g ganz in Se enthalten ist, womit unsere Behauptung bewiesen ist.
d) Der allgemeine Satz von der Existenz eines Feldes:
Es sei jetzt eine n-parametrige Schar von Kurven im (n + 1)dimensionalen Raum der Variabeln x,, x22,... X,+ gegeben
x= 9j (t, a.. aj j 1 2,.. n +, (12
welche folgende Bedingungen erfüllt:
A) Die Funktionen qSp, (p.., n,+1 sind als Funktionen ihrer
n + 1 Argumente von der Klasse C' in einem Bereich
1T < t < Ts, | a —a~|<d, i - l, 2,..., 'n. (12a)
B) Die spezielle Kurve
~ x: XJ= Sj(t a~,..., a c0), t tt, j=, 2,..., +,
1) Nach JORDAN, Cours d'Analyse, I, Nr. 64.
2) Vgl. A I 9.
3) Nach A VII 1.