Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

160 Viertes Kapitel. Hilfssätze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
b) Der erweiterte Satz über die Inversion eines Funktionensystems ):
Wir betrachten jetzt die Auflösung des Gleichungssystems
i -- fi(x,' * * * ), i --- 1, 2,.., n, (5)
und zugleich die durch diese Gleichungen vermittelte Abbildung des
(x)-Raumes auf den (y)-Raum unter den folgenden allgemeineren
Voraussetzungen:
A) Die Funktionen fi(x,..., x ) sind von der Klasse C' in
einem Bereich (.
B) C ist eine beschränkte, abgeschlossene Punktmenge im Innern
von (K.
C) Zwei verschiedenen Punkten (x'), (x") von wterden durch die
Transformation (5) allemal zwei verschiedene Punkte (y'), (y") zugeordnet.
D) Die Funktionaldeterminante
(.
Aa n * * *, n( ' )
ist von Null verschieden in (.
Alsdann läßt sich eine positive Größe 9 so klein wählen, daß die
Transformation (5) eine ein-eindeutige Beziehung zwischen der Umgebung (9)e und deren Bild So im (y)-RBaum definiert, oder anders
ausgedrickt, daß für jedes (y) in fe die Gleichungen (5) eine und nur
eine Lösung in (Q)@ besitzen.
Beweis: Zunächst können wir nach ~ 21, a) eine positive Größe
d so klein wählen, daß die Umgebung (d)g ganz im Innern von '(
liegt. Alsdann wählen wir eine abnehmende Folge positiver Größen
mit der Grenze Null:
d > 9 > 92 > * *, > * > O
_? V- 1 C (6)
und nehmen an, es gäbe für jeden Wert des Index v in der Umgebung (P9)e mindestens ein Paar verschiedener Punkte
Pv(x; * * * Xn), P (v xlv * * *. ) n
deren Bilder im (y)-Raum zusammenfallen. Wir wollen zeigen,
1) Siehe BoLzA, Mathematische Annalen, Bd. 63 (1906), p. 247; vgl. auch
BOLZA, Lectures, ~ 34, wo ein spezieller Fall des Satzes, bewiesen wird.