Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 22. Ein Satz über eindeutige Abbildung und seine Anwendungen. 159
Lehrbüchern gegeben zu werden pflegt, und knüpfen daran die Erweiterung, die wir für die Zwecke der Variationsrechnung nötig
haben.
a) Der Satz über die Inversion eines Funktionensystems für die
Umgebung eines Punktes:
Dabei wird die Auflösung des Gleichungssystems (5) unter
folgenden Annahmen betrachtet:
A) Die Funktionen fi(x"..., xn) sind von der Klasse C' in
einer gewissen Umgebung (d) eines Punktes x = ac..., x. = an.
B) Die Funktionaldeterminante
_ a(,..., )
a(, (., n) = a (f, x )
ist an der Stelle (a) von Null verschieden.
Setzt ian dann
f/(l,...,, ) = an ^,
so läßt sich nach Annahme einer hinreichend kleinen positiven Größe
6 < d eine zweite positive Größe E derart bestimmen, daß die
Gleichungen (5) für jedes Wertsystem y..., y5, für welches
yi - b, <s e i= 1,2,...,,
eine und nur eine Lösung x1..., x, besitzen, für welche
I x —ai < n, = 1, 2,..., n.
Bezeichnen wir diese Lösung, die natürlich von yi, y2,..., y abhängt, mit
xi = * * * n) Y, ~ ~, )2,...,,
so sind die Funktionen pi eindeutig definiert und von der Klasse C'
im Bereich: i y- -b < E, und die partiellen Ableitungen von Pi
werden nach den gewöhnlichen Differentiationsregeln für implizite
Funktionen erhalten. Der Satz ist ein spezieller Fall des Dini'schen
Satzes über implizite Funktionen ).
1) Für den Beweis des letzteren verweisen wir auf DINI, Analisi infinitesimtale (litt.), Bd. I, p. 163; PEANO, Differentialrechnung, Nr. 110-117;
C. JORDAN, Cours d'Analyse, I, Nr. 91, 92; OSGOOD, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. I, p. 47-57.