Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 1. Vorläufige Orientierung über die wichtigsten Probleme usw. 3
Unser bestimmtes Integral geht dann über in:
t2
J= P2Jy"/' + y'2 dt,
t,
wo jetzt x', y' die Ableitungen von x und y nach t bedeuten.
Allgemeiner nimmt das Integral (1) bei Parameterdarstellung die
Form an:
t2
J =fF(x, y, x', y')dt, (2)
tl
wobei F in bezug auf x', y' homogen von der ersten Dimension ist.
Das Problem, ein Integral von der Form (2) zu einem Extremum zu
machen, bildet die einfachste Klasse von Variationsproblemen in
Parameterdarstellung. Wir werden diese Klasse von Problemen, die
für geometrische Anwendungen von größter Wichtigkeit ist, und deren
Theorie am eingehendsten ausgebildet worden ist, in Kap. V-IX
behandeln.
Einen Typus von wesentlich anderer Art repräsentiert das folgende
Beispiel II1): Unter allen Kurven von vorgeschriebener Länge 1,
welche zwei gegebene Punkte P1, P2 verbinden, diejenige zu bestimmen,
twelche zusammen mit der Sehne P1P2 den größten Flächeninhalt einschließt.
Wählen wir die Gerade durch die beiden Punkte P1(x", y1) und
P2(x2, Y2) zur x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems und
beschränken uns der Einfachheit halber auf Kurven, die in der Form
y y(x)
darstellbar sind, so lautet die Aufgabe in analytischer Formulierung:
Unter allen Funktionen: y = y(x), welche den Anfangsbedingungen
y(x) = 0, y(x,) = O,
und überdies der Bedingung
x2
f 1 + y' 2x z
* X1
genügen, diejenige zu finden, welche dem Integral
1) Zuerst vorgelegt von JACOB BERNOULLI 1697, siehe StÄCKEL'S Übersetzung
in Nr. 46 von OSTWALD'S Klassiker der exakten Wissenschaften, p. 19 und Anmerkung 19) auf p. 139; weitere Literatur bei PASCAL, Die Variationsrechnung
(Leipzig, 1899), pp. 127, 128.
1*