Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

156 Viertes Kapitel. Hilfssätze über reelle Funktionen reeller Variabeln.
Wir betrachten jetzt die Folge { B}. Hat dieselbe unendlich
viele verschiedene Punkte, so besitzt sie mindestens einen Häufungspunktl) BI(h,..., hä), da sie als Teilmenge von J beschränkt ist.
Wir können dann stets aus der Folge {B}, eine unendliche Folge
{BJ}, wo Vi+ > vi, herausgreifen derart daß2)
LB, = H. (4)
Enthält dagegen die Menge {B } nur eine endliche Anzahl verschiedener Punkte, so kommt mindestens einer derselben unendlich
oft vor; wir können also in diesem Fall eine unendliche Folge {Bvi}
herausgreifen, so daß
BYi =H;
daher gilt auch hier (4).
In beiden Fällen folgt aus (2) und (3), daß auch
LP, ==ffH. (4a)
i=~t
Der Punkt H gehört stets zu 93. Im zweiten Fall ist dies unmittelbar klar, im ersten Fall folgt zunächst, daß als Häufungspunkt von
BB,} a fortiori auch Häufungspunkt der Menge ß ist, in welcher
{BJ} enthalten ist. Da aber die Menge 9 abgeschlossen ist, so
enthält sie den Punkt E.
Hiermit sind wir aber bei einem Widerspruch angelangt; denn
als Punkt von ß ist H ein innerer Punkt von (L, es gehören also
alle Punkte in einer gewissen Umgebung von H zu (c; andererseits
gibt es nach (4a) in jeder Umgebung von iE Punkte, welche nicht
zu G( gehören, nämlich die Punkte Pi. für hinreichend große Werte von i.
Daraus folgt, daß unsere Annahme falsch war, und damit ist
der Satz bewiesen.
Da jeder Punkt von (Q), zugleich ein innerer Punkt von (n9)
ist, so folgt überdies, daß (Q)d ganz im Innern von CL enthalten ist.
Ist ferner: 0 < a < Q, so ist a fortiori auch [6]7 ganz im Innern
von GC enthalten.
Ein stetiger Kurvenbogen
(S: x, =(P(t), t t Z= 1, 2,..., n
1) Nach A I 5.
2) Vgl. A I 4. Die Gleichung (4) bedeutet natürlich
Lb~i =ha, x=1, 2,, n
t= oo