Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu den drei ersten Kapiteln. 151
Andeutung: Führe als unabhängige Variable den Flächeninhalt
MIMPPM, ein (siehe Fig. 28).
Lösung: Ein Kreisbogen mit
dem Mittelpunkt auf der x-Achse. p (
37*. Es sind zwei vom Koordinatenanfang 0 ausgehende Geraden
OM und 0 N gegeben und auf O M ein
Punkt Pl. Unter allen Kurven, welche
von JP nach der Geraden ON gezogen
werden können, und welche mit den
beiden Geraden einen Sektor von gegebenem Flächeninhalt einschließen, ~ all
die Kurve kleinster Länge zu be- Fig. 28.
stimmen. (EULER.)
38*. Analoge Aufgabe, wenn der Endpunkt P2 statt auf der Geraden ON auf
einem gegebenen Kreis r =r, mit dem
Mittelpunkt 0 beweglich ist. (EULER.)
39*. Einen Rotationskörper von gegebener Oberfläche und möglichst großem
Volumen zu konstruieren, dessen Oberfläche die Rotationsachse genau zweimal
trifft. (KNESER.)
Die Aufgabe läßt sich auf das Beispiel VIII reduzieren. Die gesuchte Rotationsfläche ist eine Kugel.
40. Aus einem gegebenen Quantum
homogener, nach dem N ewto n'schen Gesetz
anziehender Materie einen Rotationskörper /
zu bilden, dessen Oberfläche die Rotationsachse genau in zwei Punkten trifft, und
welcher auf einen materiellen Punkt, der
sich in einem dieser beiden Treffpunkte befindet, eine möglichst große Anziehung:j
ausübt. (GAuss, KNESER, N. R. WILSON.) Fig. 29.
Die Gleichung der Meridiankurve der
gesuchten Rotationsfläche lautet in Polarkoordinaten
r2 -- a2 cos 0.
41. Die erste notwendige Bedingung für ein Extremum des Integrals
J- x, Y... X, *Y, Yn..., yn') dx
x1
aufzustellen (~ 8).