Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 20. Die Hamilton-Jacobi'sche Theorie. 139
Es läßt sich weiter noch der folgende Satz') beweisen:
Kennt man irgend ein vollständiges Integral W(x, y; p) + y der
partiellen Differentialgleichung (47), so kann man stets, ohne Ausführung
einer weiteren Integration eine Lösung w(x, y) von (47) bestimmen,
welche entlang einer beliebig vorgegebenen Kurve
G: ' x —=x(), y = ()
verschwindet, das heißt also geometrisch, man kann stets eine Transversalenschar bestimmen, welche die Kurve ( enthält.
Man erhält die verlangte Lösung w(x, y) nach DARBOUX folgendermaßen: Man berechne r aus der Gleichung
Wx (, y; A) + w(,, S; A) ' = o
als Funktion von ß und substituiere den gefundenen Wert r = r(/)
in die Funktion W(x, y; ß). Definiert man dann:lj () - W(rt,; ß) 1t=t(',
setzt mit dieser Funktion A (/) die Gleichung (60) an, und bestimmt
daraus / = b(x, y) als Funktion von x, y, so ist
v(x, y) = W(x, y; b) + A(b)
die gesuchte Lösung der partiellen Differentialgleichung (47).
In dem besonderen Fall, wo die Kurve ( in einen Punkt P0(xo, yo)
degeneriert, wo also
x(T) = Xo, y(r) -=y o,
vereinfacht sich die Regel dahin, daß
A (p) = - W(xo, y0; ß)
zu nehmen ist. In diesem Fall gehen die sämtlichen Extremalen der
Schar, deren zugehörige Transversalenschar durch: w(x, y) konst.
dargestellt wird, durch den Punkt Po.
Beispiel: f=-I1 + y'
Die Hamilton'sche partielle Differentialgleichung lautet hier
\(l) +\ayl 1
Ihr genügt offenbar die Funktion
W(x, y; f) =- x sin - y cos ß;
1) Für den Beweis verweisen wir auf DARBoux, Theorie des surfaces, Bd. II,
p. 447.