Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

138 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
d) Ableitung des allgemeinen Integrals der Euler'schen Differentialgleichung aus einem vollständigen Integral der Hamilton'schen
partiellen Differentialgleichung:
Hat man umgekehrt auf irgend einem Weg ein Integral W(x, y; p)
der partiellen Differentialgleichung (47) gefunden, welches eine nicht
additive willkürliche Konstante ß enthält, und ist
1a2^ ' Ö~ 0~ O,(63)
so erhält man das allgemeine Integral der Euler'schen Differentialgleichung, indem man die Gleichung
=- a (64)
nach y auflöst.
Zum Beweis schließt man zunächst genau wie unter b), daß es
eine Funktion p gibt, welche gleichzeitig den beiden Gleichungen (41)
genügt, nur mit dem Unterschied, daß jetzt diese Funktion p ebenso
wie die Funktion W von dem Parameter ß abhängt. Man kann daher
die beiden Gleichungen (41) nach / differentiieren und erhält so die
beiden Gleichungen (58). Aus denselben folgt aber, daß für jede
beliebige Funktion y von x die Gleichung gilt
d aW (d (;, p) - p
Wenn nun insbesondere der Gleichung (64) genügt,
Wenn nun insbesondere die Funktion y der Gleichung (64) genügt,
so ist die linke Seite und daher auch die rechte Seite der letzten
Gleichung gleich Null. Da aber wegen der Voraussetzung (63) der
Faktor ft y-3 nicht identisch verschwinden kann, so folgt, daß die
Funktion y dann stets auch der Differentialgleichung
d-x p(x,; )
genügt, und daraus schließt man ganz wie unter b), daß sie dann
auch der Euler'schen Differentialgleichung genügen muß. Da die
durch Auflösung von (64) erhaltene Funktion y aber zwei unabhängige willkürliche Konstante enthält, so muß sie das allgemeine
Integral der Euler'schen Differentialgleichung sein.
Zugleich folgt nach b), daß bei festgehaltenem ß die Gleichung:
W(x, y; ß) = konst. die Transversalenschar zu der Extremnalenschar:
W (x, y; ß) = konst. darstellt.