Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 20. Die Hamilton-Jacobi'sche Theorie. 137
von (47) genannt, weil sie von der willkürlichen Funktion A abhängt.
Zur Herleitung der Funktion W(x, y; ß) ist es übrigens nicht
einmal nötig, das allgemeine Integral der Euler'schen Differentialgleichung zu kennen; es genügt, wenn ein erstes Integrall)
IT(x, y, y') = ß (61)
bekannt ist. Die Auflösung von (61) nach y' möge ergeben
y'=p(x, y; ß) (62)
Bei festgehaltenem ß ist dann p(x, y; ß) die Gefällfunktion für diejenige Extremalenschar, die man durch Integration der Differentialgleichung erster Ordnung (62) erhält. Um die Funktion W(x, y; ß)
zu erhalten, braucht man aber diese Integration gar nicht auszuführen,
da man dazu nur die Funktion p(x, y; ß) nötig hat, und zwar erhält
man nach dem Unabhängigkeitssatz die Funktion W(x, y; p) durch
Ausführung von zwei Quadraturen.2)
Beispiel: f = G(y) /1 + y'2.
Da die Funktion f die Variable x nicht explizite enthält, so läßt sich nach
~ 6, a) sofort ein erstes Integral der Euler'schen Differentialgleichung angeben,
nämlich
G(y)
Daraus ergibt sich
y]/G(Y) - _
Gy SIY)=:_-p(x, y; /),
und hieraus:
f(x, y, p) — p fy,(x,, p) =, fy,(x, y, p) =G (y) — 2
Also ist
W(, y; ß) + 7 = +jG(y) -p dy +.
Yo
Dies ist in der Tat ein vollständiges Integral der zum Problem gehörigen
amilto n'schen partiellen Differentialgleichung
/2W\2 / a 7\ 2
-x + ) = G2 (Y)
1) Vgl. Encyclopädie II A, p. 196 (PAINLEVI).
2) Vgl. z. B. SERrET, Differential- iund Integralrechnung, Bd. II, p. 305.