Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

136 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
erscheinen daher jetzt als Identitäten in x, y, p und können nach i
differentiiert werden. Man erhält so:
a2- - /('yW P ) P w6 yp y' W. ' o.
_a__'ap — W2TV-)Pp ia fy(y, ^ p) (58)
Aus der Definition der Gefällfunktion berechnet man leicht
(p gag_ gxft- gxa.
Daraus folgt aber, daß LP nicht identisch verschwinden kann, da
g(x, a, ß) das allgemeine Integral') der Euler'schen Differentialgleichung sein sollte. Da überdies auch fy, y(x, y, p) nicht identisch
verschwinden kann, wenn wir singuläre Vorkommnisse beiseite lassen,
so ist
a2W
Hieraus folgt aber, daß die Funktion W(x, y; ß) die Konstante ß
nicht additiv enthalten kann, d. h. nicht von der Form
Wo(x, y) + h(ß)
sein kann. Die Funktion W(x, y; ß) + y ist also in der Terminologie
von LAGRANGE ein,vollständiges" Integral2) der partiellen Differentialgleichung (47). Hieraus ergibt sich dann nach der Theorie der
partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung2) auf folgende Weise
das ~allgemeine" Integral der partiellen Differentialgleichung (47): Ist
i(/p) eine willkürliche Funktion von ß, so ist auch
W(x, y; /) + <(ß) (59)
ein Integral von (47). Bestimmt man jetzt ß als Funktion von x, y
aus der Gleichung
W,(x, y; ß) + '()= O, (60)
und setzt den gefundenen Wert
ß= b(x, y)
in den Ausdruck (59) ein, so erhält man eine Funktion von x und y,
welche ebenfalls der partiellen Differentialgleichung (47) genügt. Die
so erhaltene Lösung wird dann nach LAGRANGE die allgemeine Lösung
1) Vgl. ~ 12, b), Gleichung (26).
2) Vgl. z. B. GOURSAT, Lemons sur l'integration des equations aux derivees
partielles du premier ordre (Paris 1891), p. 87.