Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 20. Die Hamilton-Jacobi'sche Theorie. 133
Transversalenschar für ein gegebenes Variationsproblem sein kann,
sondern nur diejenigen, fir welche die Funktion F der partiellen
Differentialgleichung
(, x, y, ) F -= 0 (47a)
genügt.
Ist umgekehrt F(x, y) irgend eine Funktion, welche der partiellen
Differentialgleichung (47a) genügt, so gibt es stets eine einparametrige
Extremalenschar, welcher die gegebene Schar F(x, y) = c als Transversalenschar zugehört.
Denn die partielle Differentialgleichung (47a) ist die notwendige
und hinreichende Bedingung dafür, daß es eine Funktion p =p(x, y)
gibt, welche gleichzeitig die beiden Gleichungen
x7 f(x, y,p) - fy(,,p), y - fy'(x, y,) (41a)
befriedigt. Diese Funktion p(x,y) genügt dann der partiellen
Differentialgleichung (19), wie man sofort sieht, wenn man die erste
der Gleichungen (41a) nach y, die zweite nach x differentiiert und
die rechten Seiten der so erhaltenen Gleichungen einander gleichsetzt,
was gestattet ist, da bei geeigneten Stetigkeitsannahmen Fy- = Fy.
Nunmehr bilden wir mit dieser Funktion p(x, y) die Differentialgleichung erster Ordnung
dy W(x y) (48)
d^-~=~p^y}-, ~ ~(48)
Es bezeichne
y = (x, a) (49)
das allgemeine Integral derselben, so daß also
9S-=p(x, Q) (50)
für jedes a. Durch Differentiation nach x folgt hieraus
Fxx = P P =Pyqx = Px + PyP (51)
Ersetzt man jetzt in der partiellen Differentialgleichung (19) die
Variable y durch p(x, a) und macht von (50) und (51) Gebrauch,
so erhält man die Gleichung (18), welche aussagt, daß die Schar (49)
eine Extremalenschar für das durch die Funktion f(x, y, y') charakterisierte Variationsproblem ist.
Diese Schar wird dann, wenn x und a auf einen geeigneten Bereich beschränkt werden, ein Feld bilden, und für dieses Feld ist
nach (50) die Funktion p(x, y) Gefällfunktion und die gegebene
Schar F(x, y)= c nach (41 a) die Transversalenschar. -