Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

132 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.,transversal" ist also hier mit "orthogonal" identisch und daher müssen die
Transversalen mit dem Geradenbüschel durch den Punkt (0,0) identisch sein.
Wir wollen dies auch analytisch verifizieren. Nach p. 99 ist
x
P (x, Y) = —
Die Gleichungen (41) werden daher
TW 1i AW x
ax /x2+y2' ~Y y yx -+y2
woraus man durch Integration ) erhält
W-=log(-+ / 1 ( ))+ c.
Die Transversalen sind also
x
y
d. h. die Geraden durch den Punkt (0,0)2).
b) Die Hamilton'sche partielle Differentialgleichung:
Wie schon BELTRAMI (loc. cit.) bemerkt hat, ergibt sich durch
Elimination von p aus den beiden Gleichungen (41) eine partielle
Differentialgleichung erster Ordnung für die Funktion W:
hxy - Erz ) a =0w (47)
Aus der Ableitung derselben geht hervor, daß die Funktion Z nur von f,
nicht aber von der Wahl des Feldes eo abhängig ist, während die
Funktion W(x, y) auch von eY abhängt.
Beispiel XIII (Siehe p. 124): f=-G(x,y) l+-y'2\.
Hier lauten die Gleichungen (41)
AW G(x, y) AW pG(x, y)
ax zu\ 4 p y 1/1 + p2\
Die partielle Differentialgleichung fir W lautet also
(_ W 2 W -G (
+ 17- G '(x, y)
Aus dem eben bewiesenen Satz folgt, daß nicht jede beliebige
Kurvenschar
F(x, y) = c
1) Vgl. z. B. PICARD, Traite, Bd. I, p. 94.
2) Hierzu die Übungsaufgaben, Nr. 24, 25, 26 am Ende von Kap. III.