Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

130 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
y(x) = (x)
und ferner nach der Definition der Gefällfunktion
p (x, y) = y'(x). (44)
Differentiieren wir jetzt die Identität (43) nach x und machen von
den Gleichungen (41) Gebrauch, so erhalten wir
f(x, y, p) - pf(fy, y, p) + Y'fy',x, y, p) =;
wegen (44) können wir dies auch schreiben
f(x, y, y') + (' - y') f,(x,, y,) = 0. (45)
Hierin sind x, y die Koordinaten des Schnittpunktes P, y' ist das
Gefälle der Feldextremale (, y' dasjenige der Kurve Z,. Die
Gleichung (45) ist aber nichts anderes als die schon in 7, b) eingeführte Transversalitätsbedingung. Wir haben also das Resultat:
Jede Kurve der Schar
W(x, y)= konst. (42)
schneidet sämtliche Extremalen des Feldes transversal.
Aus diesem Grunde heißen die Kurven der Schar (42) die "Transversalen des Feldes".
Dem Zusatz von ~ 17, a) stellt sich nunmehr der folgende
Satz an die Seite:
Das Iilbert'sche invariante Integral J*, genommen zwischen irgend
zwei Punkten P3, P4 derselben Transversalen, ist gleich Null.
Denn nach (40) ist
J3 = W(X4, 4) - WV(x3, y3)
und dies ist gleich Null, wenn P3 und P4 auf derselben Transversalen liegen.
Hieraus ergibt sich eine neue Definition der Funktion W(x, y).
Ziehen wir nämlich die Transversale Z, durch den Punkt Po, und
schneidet die Feldextremale ( durch den Punkt P(x,y) die
Transversale;o im Punkt Q, so wählen wir bei der Berechnung der
Funktion W(x, y) die aus dem Transversalenbogen PO Q und dem
Extremalenbogen QP zusammengesetzte Kurve PO QP als Integrationsweg für das Hilbert'sche Integral J*. Dann ist
W(x, y) = J*(P Q) + J*(QP),
und dies ist nach dem Zusatz von ~ 17, a) und nach dem soeben
bewiesenen Satz gleich
W(x, y) = J (Q P). (39 a)