Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 19. Hinreichende Bedingungen für ein starkes Extremum. 127
ihr Gefälle dem absoluten Wert nach < G sein soll, so sind die Bedingungen (I),
(II'), (III'), (IV') für ein starkes Minimum hinreichend.
Zum Beweis braucht man nur den obigen Satz mit r' = G + M' anzuwenden.
d) Tabelle der notwendigen und der hinreichenden Bedingungen:
Zur bessern Übersicht stellen wir die verschiedenen Bedingungen,
welche bei der Aufgabe, das Integral
J=ff(x, y, y') dx
bei festen Endpunkten zu einem Minimum zu machen (~ 3, b)), vorgekommen sind, tabellarisch zusammen:
1. d
1. j-f- d fyI-O0 (I)
(Euler's Differentialgleichizzg, p. 24: Eigenschaften ihres allgemeinen
Integrals, p. 72).
Die Kurve
o': y = = (x), xi < x < x2,
ist eine Extremale der Klasse C', welche die beiden gegebenen
Punkte P, und P2 verbindet, und ganz im Innern des Bereiches 3
liegt (p. 54).
2. fy,,(x, y(x), y(x)) > 0 in [xx2] (II)
(Legendre's Bedingung, p. 57).
fy, y (x( ) p) > (hIa)
in [x1x2] für jedes endliche p (p. 115).
fty,,(x, y, ) >O0 (IIb)
für jedes (x, y) in einer gewissen Nachbarschaft von eo und für
jedes endliche p (p. 123).
3. x2 < x/ (III)
wo x' der zu x1 konjugierte Wert ist (Jacobi's Bedingung, p. 87
und p. 70, Fußnote 1).
4.. G8(x, y(x); y'(x), p) > o (IV)
in [x x2] für jedes endliche + " '(x). (Weierstraß' Bedingung,
p. 113).
(x, y; p(x, y), S) > O (IVb)