Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

126 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben,
Hier ist
"f,(x, y(X), p) = 2(6p2 + 6p + 1);
diese Funktion von p kann sowohl negative als positive Werte annehmen, und
trotzdem findet, wie wir unter a) gesehen haben, ein starkes Minimum statt,
wenn m< - oder m 0> O.
c) Hinreichende Bedingungen für ein Extremum bei Gefällbeschränkungen 1):
Bei unserer Definition des Minimums (~ 3, b)) konnte das Gefälle der zulässigen Kurven irgend welche endlichen Werte annehmen. Man kann aber
die Definition auch in der Weise modifizieren, daß man dem Gefälle gewisse
Beschränkungen auferlegt. Auch für solche Fälle lassen sich aus dem Weierstraß'schen Fundamentalsatz hinreichende Bedingungen ableiten.
Hierher gehört vor allem der folgende, von LINDEBERG2) herrührende Satz,
für dessen Beweis wir auf die Arbeit von LINDEBERG verweisen:
Sind für die Extremale Wo die Bedingungen (II') und (III') erfüllt, und ist
( ( x, Y; y' (x), )> o (36)
in dem Bereich
X1, x < 0X2 < 1- y'(x) r' (37)
wo r' eine beliebige endliche positive Größe ist, so läßt sich eine positive Größe r
bestimmen, derart, daß
AJ>o
für alle zulässigen Variationen E des Bogens;o, für welche
I Y(x)- y(x) I < r, y(X)- x) < (38)
Zusatz I: Aus dem obigen Satz folgt unmittelbar der schon früher
(~ 15, b)) bewiesene Satz, daß die Bedingungen (I), (II'). (III') fir ein schwaches
Minimum hinreichend sind.
Denn zunächst folgt aus (II'), nach ~ 21, b) daß sich eine positive Größe r'
bestimmen läßt, derart, daß
fyy(X, (x),p) > O
im Bereich
x, < - ' (x) r';
und nunmehr ergibt sich aus (28), daß für eben diesen Wert r' die Voraussetzungen des Lindeberg'schen Satzes erfüllt sind.
Zusatz II: Ist G eine beliebige positive Größe, größer als das Maximum M'
von | y'(x) 1, und werden alle zulässigen Kurven der Bedingung unterworfen, daß
1) Vgl. hierzu auch Beispiel VIII, p. 34.
2) Mathematische Annalen, Bd. L1X (1904), p. 334. Der Satz sagt
wesentlich mehr aus, als daß der Bogen Lfo ein schwaches Minimum liefert; das
Hauptgewicht liegt darauf, daß die obere Grenze für 1 y'(x) - ' (x) in (38)
identisch ist mit der in (37) vorkommenden Größe r'.