Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

122 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
Beispiel X (siehe p. 113):
f= ' (1 -- y')2
Die Schar von geraden Linien
y -= mx + a
parallel der Geraden P P2 liefert offenbar ein Feld um P1P1, für welches
p(x, y)=m.
Daher ist hier
8(x, y; p(x, y), p) = (- m)2[(i + m + 1)2 + 2m(m+ 1).
Wenn m> 0 oder m < - 1, so ist also die Bedingung (IVb') erfüllt. Zusammenfassend erhalten wir daher mit Rücksicht auf die Ergebnisse von p. 114
für das gegenwärtige Beispiel das Resultat:
1. Wenn m>0 oder m <-1, so liefert die Gerade PP2 ein starkes,
eigentliches Minimum 1), und zwar nicht nur ein relatives, sondern ein absolutes,
da das Feld hier die ganze x, y-Ebene ausfüllt.
2. Dies gilt auch noch für m= 0 und m= -1, da alsdann Je ==0,
während für jede andere zulässige Kurve Je > 0.
3. Wenn m1 < m < 0 oder - 1 < m < m2, so liefert P1 P. zwar kein starkes
aber doch ein schwaches Minimum (nach ~ 15, b)); vgl. auch unten unter c).
4. Wenn m2 < m < m1, so liefert P1 P ein schwaches Maximum.
5. Wenn endlich m = men oder m = m9, so liefert P1 P2 weder ein Minimum
noch ein Maximum, und zwar nicht einmal ein schwaches. Denn alsdann ist die
zweite Variation identisch Null und die dritte von Null verschieden,- da allgemein
entlang einer Extremale fir y y + co:
x,2 x2 X2
AJ= 6(m - (m ) (- m2) '2dx + 2(2m + l) o'Bdx + 'dx.
xi x1 X,
Wenn die Bedingung (IV'b) erfüllt ist, so ist a fortiori auch (IV')
erfüllt, da entlang @o: p(x, y) = y'(x). Daß das Umgekehrte nicht
richtig ist, folgt schon a priori aus dem in ~ 18, c) Bewiesenen.
Wir wollen es zum Überfluß noch an Beispiel XI verifizieren. Die Geraden
parallel der x-Achse bilden ein Feld ok, für welches p(x, y) = 0. Daher ist
8(x, y; p(x, y),p) =-2(a-4b- y + 2bxpi2).
1) Man kann dies übrigens auch mit ganz elementaren Mitteln beweisen,
da die totale Variation für irgend eine zulässige Variation = y + co sich
schreiben läßt:
X, x2
AJ= 2 m(m + 1)o'2dx + j[(c2 + (2X m + 1)wX']d.
Xai X