Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 19. Hinreichende Bedingungen für ein starkes Extremum. 121
d. h. wenn die Extremale des Feldes durch den Punkt (x, y) die
Kurve Z im Punkt (x, y) berührt. Dies kann jedoch nur dann für
jeden Punkt der Kurve ( eintreten, wenn ( mit (o identisch ist.
Denn1) wird die das Feld f bildende Extremalenschar, wie früher, mit
y = (x, a)
bezeichnet, so gilt nach (8) in jedem Punkt von ( die Gleichung
y(x) == (x, (x,)),
wobei a wieder die inverse Funktion des Feldes bedeutet. Differentiiert
man diese Gleichung nach x, so kommt
(x) a) + a) da (x, y)
(y x, = (^ a) + (yX a) —dxY
oder nach (9),
da(x, i)
y' -p(x, M) = q(x, a) dx
Nun ist aber nach ~ 16, d), Ende, gpa(x, a) + 0 in oe. Wäre daher
(34) in jedem Punkt von ( erfüllt, so müßte sein
da(x, Y) _
dx
also a(x, ) = konst., d. h. aber ( müßte selbst eine Extremale des
Feldes sein, und zwar müßte ( mit Qo identisch sein, da E durch den
Punkt P2 geht und (o die einzige Extremale des Feldes ist, welche
durch P2 geht.
Hieraus ergibt sich aber in der Terminologie von ~ 3, b) das
Resultat:
Wenn die Ungleichung
8(x, y; p (X, ), Sf) > (i-Vb')
erfüllt ist fiir jeden PmPnkt (x, y) eines Feldes So um den Extremalenbogen ( o und fiir jeden endlichen Wert p, welcher von p (x, y) verschjieden
ist, so liefert der Bogen (9o ein starkes, eigentliches Minimum fiir das
Integral J.
Zuweilen kommt es vor, daß der Bereich Jq, auf welchen die
zulässigen Funktionen beschränkt sind, selbst ein Feld um den Bogen ~o
bildet; alsdann ist das Minimum nicht nur ein relatives, sondern ein
absolutes (~ 3, a)).
1) Der Beweis rührt von KNESER her, vgl. Lehrbuch, ~ 22; vgl. auch OSGOOD,
loc. cit., p. 118.