Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

120 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
S: y = y(x), X X <- x x2,
irgend eine Kurve der Klasse C', welche von P, nach P, gezogen ist
und ganz im Bereich of liegt. Dann gilt für die totale Variation:
AJ = JC - Jao der Weierstraß'sche Fundamentalsatz (25). Hieraus
lassen sich nun auf verschiedene Arten hinreichende Bedingungen für
ein starkes Minimum ableiten:
a) Hinreichende Bedingungen, ausgedrückt mittels der 8-Funktion:
Es bedeute wieder p(x, y) das Gefälle der durch den Punkt (x, y)
gehenden Extremale des Feldes, im Punkt (x, y). Wenn dann
8(x, y; p(x, y),) > O (IVb)
für jeden Punkt (x, y) von oS und für jeden endlichen Wert von p,
so ist der Integrand von A J sicher 0 im Intervall [xx2], also
AJ> 0. Die Kurve eo liefert also nach unserer Definition') (~ 3, b))
ein (starkes) Minimum.
Das Minimum ist jedoch nicht notwendig ein "eigentliches" Minimum, es kann auch ein "uneigentliches" sein (~ 3, b)).
Zu dem letzteren Punkt ist nun noch folgendes zu bemerken:
Aus der Definition der Funktion 8(x, y; p, ) folgt, daß dieselbe, als
Funktion ihrer vier Argumente betrachtet, stets verschwindet, wenn
p =p; man sagt in diesem Fall nach KNESER, die 8-Funktion verschwinde in "ordentlicher" Weise. Ist dagegen: 8 (x, y; p, p) =0,
während i + p, so sagt man, die 8-Funktion verschwinde für das
betrachtete Wertsystem in "auß/erordentlicher" Weise.
Wenn wir nun der Bedingung (IVb) noch die Bedingung hinzufügen, daß die 8-Funktion im Felde ' nur in ordentlicher Weise
verschwinden soll, so läßt sich zeigen, daß alsdann das Minimum stets
ein eigentliches ist.
Denn wenn die Bedingung (IVb) erfüllt ist, so kann nach bekannten Sätzen über bestimmte Integrale AJ nur dann gleich Null
sein, wenn entlang der ganzen Kurve (
(x, Y; p(x, ), ) = 0; (33)
und wenn die 8-Funktion im Feld nur in ordentlicher Weise verschwindet, so ist dies nur in der Weise möglich, daß in jedem
Punkt (x, y) von d;:
'_ =_ -p(x, y), (34)
1) Man beachte, daß nach der Definition eines den Bogen (o umgebenden
Feldes o (~ 16, c)) eine Nachbarschaft (O) von (o existiert, welche in E enthalten ist.